Sr Examen

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cbrt((x+1)^2)-cbrt((x-1)^2)
Trazado el gráfico de la función/ cbrt((x+1)^2)-cbrt((x-1)^2)

Gráfico de la función y = cbrt((x+1)^2)-cbrt((x-1)^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          __________      __________
       3 /        2    3 /        2 
f(x) = \/  (x + 1)   - \/  (x - 1)
f(x)=−(x−1)23+(x+1)23f{\left(x \right)} = - \sqrt[3]{\left(x - 1\right)^{2}} + \sqrt[3]{\left(x + 1\right)^{2}} 
f = -((x - 1)^2)^(1/3) + ((x + 1)^2)^(1/3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−(x−1)23+(x+1)23=0- \sqrt[3]{\left(x - 1\right)^{2}} + \sqrt[3]{\left(x + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((x + 1)^2)^(1/3) - ((x - 1)^2)^(1/3).
−(−1)23+123- \sqrt[3]{\left(-1\right)^{2}} + \sqrt[3]{1^{2}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−(2x3−23)∣x−1∣23(x−1)2+(2x3+23)∣x+1∣23(x+1)2=0- \frac{\left(\frac{2 x}{3} - \frac{2}{3}\right) \left|{x - 1}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{\left(\frac{2 x}{3} + \frac{2}{3}\right) \left|{x + 1}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(2sign⁡(x+1)(x+1)∣x+1∣3−3∣x+1∣23(x+1)2−2sign⁡(x−1)(x−1)∣x−1∣3+3∣x−1∣23(x−1)2)9=0\frac{2 \left(\frac{2 \operatorname{sign}{\left(x + 1 \right)}}{\left(x + 1\right) \sqrt[3]{\left|{x + 1}\right|}} - \frac{3 \left|{x + 1}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2 \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)}}{\left(x - 1\right) \sqrt[3]{\left|{x - 1}\right|}} + \frac{3 \left|{x - 1}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)}{9} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=123346.573343883x_{1} = 123346.573343883
x2=−137268.361812923x_{2} = -137268.361812923
x3=−122786.132454272x_{3} = -122786.132454272
x4=177653.362721455x_{4} = 177653.362721455
x5=105243.109637613x_{5} = 105243.109637613
x6=−101061.813262546x_{6} = -101061.813262546
x7=119725.95185875x_{7} = 119725.95185875
x8=−104682.639681257x_{8} = -104682.639681257
x9=174033.011746276x_{9} = 174033.011746276
x10=145069.75944581x_{10} = 145069.75944581
x11=−173472.609520197x_{11} = -173472.609520197
x12=101622.290974658x_{12} = 101622.290974658
x13=−119165.506194787x_{13} = -119165.506194787
x14=141449.283125871x_{14} = 141449.283125871
x15=155931.084561887x_{15} = 155931.084561887
x16=170412.650259971x_{16} = 170412.650259971
x17=−126406.728777373x_{17} = -126406.728777373
x18=−130027.297664428x_{18} = -130027.297664428
x19=−140888.860857883x_{19} = -140888.860857883
x20=−151750.244785831x_{20} = -151750.244785831
x21=−180713.304641343x_{21} = -180713.304641343
x22=0x_{22} = 0
x23=148690.217615704x_{23} = 148690.217615704
x24=130587.730171358x_{24} = 130587.730171358
x25=166792.27757813x_{25} = 166792.27757813
x26=−166231.871893144x_{26} = -166231.871893144
x27=181273.703815248x_{27} = 181273.703815248
x28=163171.892955602x_{28} = 163171.892955602
x29=−169852.24635963x_{29} = -169852.24635963
x30=126967.16529604x_{30} = 126967.16529604
x31=−148129.800961046x_{31} = -148129.800961046
x32=116105.298078174x_{32} = 116105.298078174
x33=112484.608884054x_{33} = 112484.608884054
x34=−162611.485365667x_{34} = -162611.485365667
x35=159551.495579607x_{35} = 159551.495579607
x36=−177092.962068177x_{36} = -177092.962068177
x37=−111924.152247899x_{37} = -111924.152247899
x38=108863.880743523x_{38} = 108863.880743523
x39=152310.658929733x_{39} = 152310.658929733
x40=−115544.847185232x_{40} = -115544.847185232
x41=−144509.340089725x_{41} = -144509.340089725
x42=−155370.672755602x_{42} = -155370.672755602
x43=−158991.085953361x_{43} = -158991.085953361
x44=134208.270160954x_{44} = 134208.270160954
x45=−133647.841344863x_{45} = -133647.841344863
x46=−108303.417780209x_{46} = -108303.417780209
x47=137828.787225739x_{47} = 137828.787225739

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[177653.362721455,∞)\left[177653.362721455, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−180713.304641343]\left(-\infty, -180713.304641343\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−(x−1)23+(x+1)23)=0\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt[3]{\left(x - 1\right)^{2}} + \sqrt[3]{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(−(x−1)23+(x+1)23)=0\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt[3]{\left(x - 1\right)^{2}} + \sqrt[3]{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((x + 1)^2)^(1/3) - ((x - 1)^2)^(1/3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−(x−1)23+(x+1)23x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \sqrt[3]{\left(x - 1\right)^{2}} + \sqrt[3]{\left(x + 1\right)^{2}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−(x−1)23+(x+1)23x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \sqrt[3]{\left(x - 1\right)^{2}} + \sqrt[3]{\left(x + 1\right)^{2}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−(x−1)23+(x+1)23=∣x−1∣23−∣x+1∣23- \sqrt[3]{\left(x - 1\right)^{2}} + \sqrt[3]{\left(x + 1\right)^{2}} = \left|{x - 1}\right|^{\frac{2}{3}} - \left|{x + 1}\right|^{\frac{2}{3}}
- No
−(x−1)23+(x+1)23=−∣x−1∣23+∣x+1∣23- \sqrt[3]{\left(x - 1\right)^{2}} + \sqrt[3]{\left(x + 1\right)^{2}} = - \left|{x - 1}\right|^{\frac{2}{3}} + \left|{x + 1}\right|^{\frac{2}{3}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = cbrt((x+1)^2)-cbrt((x-1)^2)
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