Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrtx*(x-1)

Gráfico de la función y = sqrtx*(x-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         ___        
f(x) = \/ x *(x - 1)
f(x)=x(x−1)f{\left(x \right)} = \sqrt{x} \left(x - 1\right) 
f = sqrt(x)*(x - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x(x−1)=0\sqrt{x} \left(x - 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(x)*(x - 1).
(−1)0\left(-1\right) \sqrt{0}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x+x−12x=0\sqrt{x} + \frac{x - 1}{2 \sqrt{x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=13x_{1} = \frac{1}{3}
Signos de extremos en los puntos:
           ___ 
      -2*\/ 3  
(1/3, --------)
         9


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=13x_{1} = \frac{1}{3}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[13,∞)\left[\frac{1}{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,13]\left(-\infty, \frac{1}{3}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
1−x−14xx=0\frac{1 - \frac{x - 1}{4 x}}{\sqrt{x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−13x_{1} = - \frac{1}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x(x−1))=−∞i\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x} \left(x - 1\right)\right) = - \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x(x−1))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} \left(x - 1\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(x)*(x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x−1x)=∞i\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 1}{\sqrt{x}}\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(x−1x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 1}{\sqrt{x}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x(x−1)=−x(−x−1)\sqrt{x} \left(x - 1\right) = \sqrt{- x} \left(- x - 1\right)
- No
x(x−1)=−−x(−x−1)\sqrt{x} \left(x - 1\right) = - \sqrt{- x} \left(- x - 1\right)
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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