Sr Examen

Otras calculadoras

ln(arctg((x+1)/(x-1)))
Trazado el gráfico de la función/ ln(arctg((x+1)/(x-1)))

Gráfico de la función y = ln(arctg((x+1)/(x-1)))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /    /x + 1\\
f(x) = log|atan|-----||
          \    \x - 1//
f(x)=log⁡(atan⁡(x+1x−1))f{\left(x \right)} = \log{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{x - 1} \right)} \right)} 
f = log(atan((x + 1)/(x - 1)))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(atan⁡(x+1x−1))=0\log{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{x - 1} \right)} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1+tan⁡(1)−1+tan⁡(1)x_{1} = \frac{1 + \tan{\left(1 \right)}}{-1 + \tan{\left(1 \right)}}
Solución numérica
x1=4.5880378249839x_{1} = 4.5880378249839
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(atan((x + 1)/(x - 1))).
log⁡(atan⁡(1−1))\log{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{-1} \right)} \right)}
Resultado:
f(0)=log⁡(π4)+iπf{\left(0 \right)} = \log{\left(\frac{\pi}{4} \right)} + i \pi
Punto:
(0, pi*i + log(pi/4))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1x−1−x+1(x−1)2(1+(x+1)2(x−1)2)atan⁡(x+1x−1)=0\frac{\frac{1}{x - 1} - \frac{x + 1}{\left(x - 1\right)^{2}}}{\left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{x - 1} \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(1−x+1x−1)(2+1−x+1x−1(1+(x+1)2(x−1)2)atan⁡(x+1x−1)+2(1−x+1x−1)(x+1)(1+(x+1)2(x−1)2)(x−1))(1+(x+1)2(x−1)2)(x−1)2atan⁡(x+1x−1)=0- \frac{\left(1 - \frac{x + 1}{x - 1}\right) \left(2 + \frac{1 - \frac{x + 1}{x - 1}}{\left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{x - 1} \right)}} + \frac{2 \left(1 - \frac{x + 1}{x - 1}\right) \left(x + 1\right)}{\left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) \left(x - 1\right)}\right)}{\left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) \left(x - 1\right)^{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{x - 1} \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=41021.8488091042x_{1} = 41021.8488091042
x2=−17469.436904434x_{2} = -17469.436904434
x3=27461.2319329909x_{3} = 27461.2319329909
x4=−39504.6751290796x_{4} = -39504.6751290796
x5=−14927.3524472151x_{5} = -14927.3524472151
x6=36784.0709321344x_{6} = 36784.0709321344
x7=−22554.0793735282x_{7} = -22554.0793735282
x8=−38657.1150131125x_{8} = -38657.1150131125
x9=22376.3411939089x_{9} = 22376.3411939089
x10=14750.0085126649x_{10} = 14750.0085126649
x11=28308.7401281342x_{11} = 28308.7401281342
x12=13055.6231071968x_{12} = 13055.6231071968
x13=34241.4338131547x_{13} = 34241.4338131547
x14=−31029.1794807115x_{14} = -31029.1794807115
x15=13902.789259839x_{15} = 13902.789259839
x16=−32724.2565413052x_{16} = -32724.2565413052
x17=21528.8944388227x_{17} = 21528.8944388227
x18=−25944.0479680227x_{18} = -25944.0479680227
x19=37631.6220272009x_{19} = 37631.6220272009
x20=39326.7312335255x_{20} = 39326.7312335255
x21=35088.9766253215x_{21} = 35088.9766253215
x22=−20859.1474952103x_{22} = -20859.1474952103
x23=−35266.8952473857x_{23} = -35266.8952473857
x24=−30181.6463301677x_{24} = -30181.6463301677
x25=−42047.3659341353x_{25} = -42047.3659341353
x26=23223.7998488575x_{26} = 23223.7998488575
x27=15597.2717749299x_{27} = 15597.2717749299
x28=−21706.6082476826x_{28} = -21706.6082476826
x29=−19164.2623639488x_{29} = -19164.2623639488
x30=−36962.0007124598x_{30} = -36962.0007124598
x31=−23401.5597879998x_{31} = -23401.5597879998
x32=−33571.7999220719x_{32} = -33571.7999220719
x33=−26791.5572796802x_{33} = -26791.5572796802
x34=24071.2691047598x_{34} = 24071.2691047598
x35=−20011.6983763845x_{35} = -20011.6983763845
x36=32546.3580302056x_{36} = 32546.3580302056
x37=18986.6421859638x_{37} = 18986.6421859638
x38=−14080.0458297311x_{38} = -14080.0458297311
x39=20681.4611035732x_{39} = 20681.4611035732
x40=33393.8941961561x_{40} = 33393.8941961561
x41=29156.2540646245x_{41} = 29156.2540646245
x42=30003.7732427752x_{42} = 30003.7732427752
x43=35936.5224014566x_{43} = 35936.5224014566
x44=26613.7300444471x_{44} = 26613.7300444471
x45=−15774.6892787207x_{45} = -15774.6892787207
x46=16444.5719168092x_{46} = 16444.5719168092
x47=18139.2612636203x_{47} = 18139.2612636203
x48=42716.9737385202x_{48} = 42716.9737385202
x49=−41199.8006949158x_{49} = -41199.8006949158
x50=40174.2890427193x_{50} = 40174.2890427193
x51=−16622.0519537387x_{51} = -16622.0519537387
x52=30851.2972192297x_{52} = 30851.2972192297
x53=−40352.2370595654x_{53} = -40352.2370595654
x54=41869.4104114985x_{54} = 41869.4104114985
x55=31698.8255992445x_{55} = 31698.8255992445
x56=−18316.841189787x_{56} = -18316.841189787
x57=−36114.4467995644x_{57} = -36114.4467995644
x58=−27639.0722333254x_{58} = -27639.0722333254
x59=−13232.7748377966x_{59} = -13232.7748377966
x60=24918.7478450127x_{60} = 24918.7478450127
x61=−24249.048552373x_{61} = -24249.048552373
x62=−25096.5448501956x_{62} = -25096.5448501956
x63=25766.2351044339x_{63} = 25766.2351044339
x64=−34419.3462259657x_{64} = -34419.3462259657
x65=19834.0429782806x_{65} = 19834.0429782806
x66=−37809.556830925x_{66} = -37809.556830925
x67=17291.9032681937x_{67} = 17291.9032681937
x68=−31876.716310533x_{68} = -31876.716310533
x69=−28486.5923407423x_{69} = -28486.5923407423
x70=−29334.1171684335x_{70} = -29334.1171684335
x71=38479.1755136064x_{71} = 38479.1755136064
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=1x_{1} = 1

lim⁡x→1−(−(1−x+1x−1)(2+1−x+1x−1(1+(x+1)2(x−1)2)atan⁡(x+1x−1)+2(1−x+1x−1)(x+1)(1+(x+1)2(x−1)2)(x−1))(1+(x+1)2(x−1)2)(x−1)2atan⁡(x+1x−1))=−1(1+1π)π2\lim_{x \to 1^-}\left(- \frac{\left(1 - \frac{x + 1}{x - 1}\right) \left(2 + \frac{1 - \frac{x + 1}{x - 1}}{\left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{x - 1} \right)}} + \frac{2 \left(1 - \frac{x + 1}{x - 1}\right) \left(x + 1\right)}{\left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) \left(x - 1\right)}\right)}{\left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) \left(x - 1\right)^{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{x - 1} \right)}}\right) = - \frac{1 \left(1 + 1 \pi\right)}{\pi^{2}}
lim⁡x→1+(−(1−x+1x−1)(2+1−x+1x−1(1+(x+1)2(x−1)2)atan⁡(x+1x−1)+2(1−x+1x−1)(x+1)(1+(x+1)2(x−1)2)(x−1))(1+(x+1)2(x−1)2)(x−1)2atan⁡(x+1x−1))=1(−1+1π)π2\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{\left(1 - \frac{x + 1}{x - 1}\right) \left(2 + \frac{1 - \frac{x + 1}{x - 1}}{\left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{x - 1} \right)}} + \frac{2 \left(1 - \frac{x + 1}{x - 1}\right) \left(x + 1\right)}{\left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) \left(x - 1\right)}\right)}{\left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) \left(x - 1\right)^{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{x - 1} \right)}}\right) = \frac{1 \left(-1 + 1 \pi\right)}{\pi^{2}}
- los límites no son iguales, signo
x1=1x_{1} = 1
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞log⁡(atan⁡(x+1x−1))=−2log⁡(2)+log⁡(π)\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{x - 1} \right)} \right)} = - 2 \log{\left(2 \right)} + \log{\left(\pi \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−2log⁡(2)+log⁡(π)y = - 2 \log{\left(2 \right)} + \log{\left(\pi \right)}
lim⁡x→∞log⁡(atan⁡(x+1x−1))=−2log⁡(2)+log⁡(π)\lim_{x \to \infty} \log{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{x - 1} \right)} \right)} = - 2 \log{\left(2 \right)} + \log{\left(\pi \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=−2log⁡(2)+log⁡(π)y = - 2 \log{\left(2 \right)} + \log{\left(\pi \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(atan((x + 1)/(x - 1))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(atan⁡(x+1x−1))x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{x - 1} \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(atan⁡(x+1x−1))x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{x - 1} \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(atan⁡(x+1x−1))=log⁡(atan⁡(1−x−x−1))\log{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{x - 1} \right)} \right)} = \log{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1 - x}{- x - 1} \right)} \right)}
- No
log⁡(atan⁡(x+1x−1))=−log⁡(atan⁡(1−x−x−1))\log{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{x - 1} \right)} \right)} = - \log{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1 - x}{- x - 1} \right)} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = ln(arctg((x+1)/(x-1)))
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