Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{3 \left(\frac{x}{x + 4} - 1\right) \left(- \frac{1}{x + 4} - \frac{1}{x}\right)}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -4$$
$$\lim_{x \to -4^-}\left(\frac{3 \left(\frac{x}{x + 4} - 1\right) \left(- \frac{1}{x + 4} - \frac{1}{x}\right)}{x}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -4^+}\left(\frac{3 \left(\frac{x}{x + 4} - 1\right) \left(- \frac{1}{x + 4} - \frac{1}{x}\right)}{x}\right) = -\infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-2, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -2\right]$$