Sr Examen

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y=ln(x+2)/x
Trazado el gráfico de la función/ y=ln(x+2)/x

Gráfico de la función y = y=ln(x+2)/x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       log(x + 2)
f(x) = ----------
           x
f(x)=log⁡(x+2)xf{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{x} 
f = log(x + 2)/x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(x+2)x=0\frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
Solución numérica
x1=−1x_{1} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x + 2)/x.
log⁡(2)0\frac{\log{\left(2 \right)}}{0}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1x(x+2)−log⁡(x+2)x2=0\frac{1}{x \left(x + 2\right)} - \frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−1(x+2)2−2x(x+2)+2log⁡(x+2)x2x=0\frac{- \frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x + 2\right)} + \frac{2 \log{\left(x + 2 \right)}}{x^{2}}}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=47762.2722655984x_{1} = 47762.2722655984
x2=55535.6895261803x_{2} = 55535.6895261803
x3=52210.5841572977x_{3} = 52210.5841572977
x4=48876.0440358842x_{4} = 48876.0440358842
x5=35420.9626334362x_{5} = 35420.9626334362
x6=51100.163330264x_{6} = 51100.163330264
x7=49988.6618154252x_{7} = 49988.6618154252
x8=27453.5500364991x_{8} = 27453.5500364991
x9=33155.5966083773x_{9} = 33155.5966083773
x10=58852.1760069829x_{10} = 58852.1760069829
x11=57747.5929537082x_{11} = 57747.5929537082
x12=34289.2660279171x_{12} = 34289.2660279171
x13=43294.8041499171x_{13} = 43294.8041499171
x14=32019.8485312361x_{14} = 32019.8485312361
x15=56642.1060413689x_{15} = 56642.1060413689
x16=39929.8376131618x_{16} = 39929.8376131618
x17=45531.1039315341x_{17} = 45531.1039315341
x18=53319.9578958258x_{18} = 53319.9578958258
x19=44413.619329713x_{19} = 44413.619329713
x20=41052.9709207592x_{20} = 41052.9709207592
x21=25154.2318133929x_{21} = 25154.2318133929
x22=36550.7830628557x_{22} = 36550.7830628557
x23=23999.8441668271x_{23} = 23999.8441668271
x24=42174.6065378353x_{24} = 42174.6065378353
x25=37678.8158508515x_{25} = 37678.8158508515
x26=54428.3163216977x_{26} = 54428.3163216977
x27=30881.9054427158x_{27} = 30881.9054427158
x28=28598.9066319867x_{28} = 28598.9066319867
x29=46647.306437951x_{29} = 46647.306437951
x30=29741.6389249571x_{30} = 29741.6389249571
x31=26305.3916835902x_{31} = 26305.3916835902
x32=38805.1423661755x_{32} = 38805.1423661755
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(−1(x+2)2−2x(x+2)+2log⁡(x+2)x2x)=−∞\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x + 2\right)} + \frac{2 \log{\left(x + 2 \right)}}{x^{2}}}{x}\right) = -\infty
lim⁡x→0+(−1(x+2)2−2x(x+2)+2log⁡(x+2)x2x)=∞\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x + 2\right)} + \frac{2 \log{\left(x + 2 \right)}}{x^{2}}}{x}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x+2)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(log⁡(x+2)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x + 2)/x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x+2)x2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(x+2)x2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(x+2)x=−log⁡(2−x)x\frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{x} = - \frac{\log{\left(2 - x \right)}}{x}
- No
log⁡(x+2)x=log⁡(2−x)x\frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{x} = \frac{\log{\left(2 - x \right)}}{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = y=ln(x+2)/x
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