Sr Examen

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laplace(x)
Trazado el gráfico de la función/ laplace(x)

Gráfico de la función y = laplace(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
              /  x  \
       1 + erf|-----|
              |  ___|
              \\/ 2 /
f(x) = --------------
             2
f(x)=erf⁡(x2)+12f{\left(x \right)} = \frac{\operatorname{erf}{\left(\frac{x}{\sqrt{2}} \right)} + 1}{2} 
f = (erf(x/sqrt(2)) + 1)/2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
erf⁡(x2)+12=0\frac{\operatorname{erf}{\left(\frac{x}{\sqrt{2}} \right)} + 1}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=−60x_{1} = -60
x2=−74x_{2} = -74
x3=−56x_{3} = -56
x4=−3.55689012551827⋅1022x_{4} = -3.55689012551827 \cdot 10^{22}
x5=−80x_{5} = -80
x6=−20x_{6} = -20
x7=−26x_{7} = -26
x8=−82x_{8} = -82
x9=−54x_{9} = -54
x10=−8.72956344632312x_{10} = -8.72956344632312
x11=−18x_{11} = -18
x12=−52x_{12} = -52
x13=−36x_{13} = -36
x14=−66x_{14} = -66
x15=−42x_{15} = -42
x16=−62x_{16} = -62
x17=−40x_{17} = -40
x18=−64x_{18} = -64
x19=−50x_{19} = -50
x20=−30x_{20} = -30
x21=−68x_{21} = -68
x22=−46x_{22} = -46
x23=−32x_{23} = -32
x24=−38x_{24} = -38
x25=−28x_{25} = -28
x26=−319954410.667949x_{26} = -319954410.667949
x27=−44x_{27} = -44
x28=−94x_{28} = -94
x29=−100x_{29} = -100
x30=−10.1978335641318x_{30} = -10.1978335641318
x31=−92x_{31} = -92
x32=−21.2111319784321x_{32} = -21.2111319784321
x33=−11910.1907795115x_{33} = -11910.1907795115
x34=−24x_{34} = -24
x35=−34x_{35} = -34
x36=−7.50918635620506x_{36} = -7.50918635620506
x37=−10.8917632399995x_{37} = -10.8917632399995
x38=−84x_{38} = -84
x39=−78x_{39} = -78
x40=−14x_{40} = -14
x41=−58x_{41} = -58
x42=−12x_{42} = -12
x43=−48x_{43} = -48
x44=−22x_{44} = -22
x45=−86x_{45} = -86
x46=−72x_{46} = -72
x47=−70x_{47} = -70
x48=−98x_{48} = -98
x49=−460490984017633x_{49} = -460490984017633
x50=−88x_{50} = -88
x51=−76x_{51} = -76
x52=−16x_{52} = -16
x53=−90x_{53} = -90
x54=−96x_{54} = -96
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (1 + erf(x/sqrt(2)))/2.
erf⁡(02)+12\frac{\operatorname{erf}{\left(\frac{0}{\sqrt{2}} \right)} + 1}{2}
Resultado:
f(0)=12f{\left(0 \right)} = \frac{1}{2}
Punto:
(0, 1/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2e−x222π=0\frac{\sqrt{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2 \sqrt{\pi}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2xe−x222π=0- \frac{\sqrt{2} x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2 \sqrt{\pi}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Convexa en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(erf⁡(x2)+12)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{erf}{\left(\frac{x}{\sqrt{2}} \right)} + 1}{2}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(erf⁡(x2)+12)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{erf}{\left(\frac{x}{\sqrt{2}} \right)} + 1}{2}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (1 + erf(x/sqrt(2)))/2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(erf⁡(x2)+12x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{erf}{\left(\frac{x}{\sqrt{2}} \right)} + 1}{2 x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(erf⁡(x2)+12x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{erf}{\left(\frac{x}{\sqrt{2}} \right)} + 1}{2 x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
erf⁡(x2)+12=12−erf⁡(22x)2\frac{\operatorname{erf}{\left(\frac{x}{\sqrt{2}} \right)} + 1}{2} = \frac{1}{2} - \frac{\operatorname{erf}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} x \right)}}{2}
- No
erf⁡(x2)+12=erf⁡(22x)2−12\frac{\operatorname{erf}{\left(\frac{x}{\sqrt{2}} \right)} + 1}{2} = \frac{\operatorname{erf}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} x \right)}}{2} - \frac{1}{2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = laplace(x)
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