Sr Examen

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-cos(x)
Trazado el gráfico de la función/ -cos(x)

Gráfico de la función y = -cos(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = -cos(x)
f(x)=−cos⁡(x)f{\left(x \right)} = - \cos{\left(x \right)} 
f = -cos(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−cos⁡(x)=0- \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Solución numérica
x1=7.85398163397448x_{1} = 7.85398163397448
x2=−73.8274273593601x_{2} = -73.8274273593601
x3=−54.9778714378214x_{3} = -54.9778714378214
x4=73.8274273593601x_{4} = 73.8274273593601
x5=−26.7035375555132x_{5} = -26.7035375555132
x6=−1.5707963267949x_{6} = -1.5707963267949
x7=−95.8185759344887x_{7} = -95.8185759344887
x8=−39.2699081698724x_{8} = -39.2699081698724
x9=−4.71238898038469x_{9} = -4.71238898038469
x10=14.1371669411541x_{10} = 14.1371669411541
x11=10.9955742875643x_{11} = 10.9955742875643
x12=58.1194640914112x_{12} = 58.1194640914112
x13=70.6858347057703x_{13} = 70.6858347057703
x14=−36.1283155162826x_{14} = -36.1283155162826
x15=54.9778714378214x_{15} = 54.9778714378214
x16=23.5619449019235x_{16} = 23.5619449019235
x17=−387.986692718339x_{17} = -387.986692718339
x18=−168.075206967054x_{18} = -168.075206967054
x19=−92.6769832808989x_{19} = -92.6769832808989
x20=−86.3937979737193x_{20} = -86.3937979737193
x21=−10.9955742875643x_{21} = -10.9955742875643
x22=92.6769832808989x_{22} = 92.6769832808989
x23=39.2699081698724x_{23} = 39.2699081698724
x24=−32.9867228626928x_{24} = -32.9867228626928
x25=98.9601685880785x_{25} = 98.9601685880785
x26=36.1283155162826x_{26} = 36.1283155162826
x27=−7.85398163397448x_{27} = -7.85398163397448
x28=−58.1194640914112x_{28} = -58.1194640914112
x29=−67.5442420521806x_{29} = -67.5442420521806
x30=−61.261056745001x_{30} = -61.261056745001
x31=26.7035375555132x_{31} = 26.7035375555132
x32=86.3937979737193x_{32} = 86.3937979737193
x33=−48.6946861306418x_{33} = -48.6946861306418
x34=51.8362787842316x_{34} = 51.8362787842316
x35=−42.4115008234622x_{35} = -42.4115008234622
x36=−89.5353906273091x_{36} = -89.5353906273091
x37=−98.9601685880785x_{37} = -98.9601685880785
x38=−14.1371669411541x_{38} = -14.1371669411541
x39=80.1106126665397x_{39} = 80.1106126665397
x40=−64.4026493985908x_{40} = -64.4026493985908
x41=95.8185759344887x_{41} = 95.8185759344887
x42=1.5707963267949x_{42} = 1.5707963267949
x43=45.553093477052x_{43} = 45.553093477052
x44=−17.2787595947439x_{44} = -17.2787595947439
x45=−2266.65909956504x_{45} = -2266.65909956504
x46=4.71238898038469x_{46} = 4.71238898038469
x47=48.6946861306418x_{47} = 48.6946861306418
x48=76.9690200129499x_{48} = 76.9690200129499
x49=−45.553093477052x_{49} = -45.553093477052
x50=20.4203522483337x_{50} = 20.4203522483337
x51=17.2787595947439x_{51} = 17.2787595947439
x52=−83.2522053201295x_{52} = -83.2522053201295
x53=−20.4203522483337x_{53} = -20.4203522483337
x54=−80.1106126665397x_{54} = -80.1106126665397
x55=61.261056745001x_{55} = 61.261056745001
x56=32.9867228626928x_{56} = 32.9867228626928
x57=64.4026493985908x_{57} = 64.4026493985908
x58=−23.5619449019235x_{58} = -23.5619449019235
x59=29.845130209103x_{59} = 29.845130209103
x60=42.4115008234622x_{60} = 42.4115008234622
x61=89.5353906273091x_{61} = 89.5353906273091
x62=−51.8362787842316x_{62} = -51.8362787842316
x63=−70.6858347057703x_{63} = -70.6858347057703
x64=83.2522053201295x_{64} = 83.2522053201295
x65=67.5442420521806x_{65} = 67.5442420521806
x66=−29.845130209103x_{66} = -29.845130209103
x67=−76.9690200129499x_{67} = -76.9690200129499
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -cos(x).
−cos⁡(0)- \cos{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
sin⁡(x)=0\sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Signos de extremos en los puntos:
(0, -1)

(pi, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Puntos máximos de la función:
x1=πx_{1} = \pi
Decrece en los intervalos
[0,π]\left[0, \pi\right]
Crece en los intervalos
(−∞,0]∪[π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
cos⁡(x)=0\cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,π2]∪[3π2,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[π2,3π2]\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−cos⁡(x))=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty}\left(- \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞(−cos⁡(x))=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty}\left(- \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -cos(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{\cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{\cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−cos⁡(x)=−cos⁡(x)- \cos{\left(x \right)} = - \cos{\left(x \right)}
- Sí
−cos⁡(x)=cos⁡(x)- \cos{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = -cos(x)
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