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Trazado el gráfico de la función/ ln^2(x^2-3x-9)+sqrt(x^3-8x-8)

Gráfico de la función y = ln^2(x^2-3x-9)+sqrt(x^3-8x-8)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                               ______________
          2/ 2          \     /  3           
f(x) = log \x  - 3*x - 9/ + \/  x  - 8*x - 8
$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\left(x^{3} - 8 x\right) - 8} + \log{\left(\left(x^{2} - 3 x\right) - 9 \right)}^{2}$$ 
f = sqrt(x^3 - 8*x - 8) + log(x^2 - 3*x - 9)^2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt{\left(x^{3} - 8 x\right) - 8} + \log{\left(\left(x^{2} - 3 x\right) - 9 \right)}^{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
$$x_{1} = -2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x^2 - 3*x - 9)^2 + sqrt(x^3 - 8*x - 8).
$$\sqrt{-8 + \left(0^{3} - 0\right)} + \log{\left(-9 + \left(0^{2} - 0\right) \right)}^{2}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 2 \sqrt{2} i + \left(\log{\left(9 \right)} + i \pi\right)^{2}$$
Punto:
(0, (pi*i + log(9))^2 + 2*i*sqrt(2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 \left(2 x - 3\right) \log{\left(\left(x^{2} - 3 x\right) - 9 \right)}}{\left(x^{2} - 3 x\right) - 9} + \frac{\frac{3 x^{2}}{2} - 4}{\sqrt{\left(x^{3} - 8 x\right) - 8}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{\left(x^{3} - 8 x\right) - 8} + \log{\left(\left(x^{2} - 3 x\right) - 9 \right)}^{2}\right) = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{\left(x^{3} - 8 x\right) - 8} + \log{\left(\left(x^{2} - 3 x\right) - 9 \right)}^{2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x^2 - 3*x - 9)^2 + sqrt(x^3 - 8*x - 8), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\left(x^{3} - 8 x\right) - 8} + \log{\left(\left(x^{2} - 3 x\right) - 9 \right)}^{2}}{x}\right) = - \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\left(x^{3} - 8 x\right) - 8} + \log{\left(\left(x^{2} - 3 x\right) - 9 \right)}^{2}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sqrt{\left(x^{3} - 8 x\right) - 8} + \log{\left(\left(x^{2} - 3 x\right) - 9 \right)}^{2} = \sqrt{- x^{3} + 8 x - 8} + \log{\left(x^{2} + 3 x - 9 \right)}^{2}$$
- No
$$\sqrt{\left(x^{3} - 8 x\right) - 8} + \log{\left(\left(x^{2} - 3 x\right) - 9 \right)}^{2} = - \sqrt{- x^{3} + 8 x - 8} - \log{\left(x^{2} + 3 x - 9 \right)}^{2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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