Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (log(sqrt(sqrt((5x^2-6x+1)/(-5x^2+7x-2))))/log(x^2-3x-4))

Gráfico de la función y = (log(sqrt(sqrt((5x^2-6x+1)/(-5x^2+7x-2))))/log(x^2-3x-4))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /       __________________________\
          |      /       __________________ |
          |     /       /     2             |
          |    /       /   5*x  - 6*x + 1   |
       log|   /       /   ----------------  |
          |  /       /         2            |
          \\/      \/     - 5*x  + 7*x - 2  /
f(x) = --------------------------------------
                    / 2          \           
                 log\x  - 3*x - 4/
f(x)=log⁡((5x2−6x)+1(−5x2+7x)−2)log⁡((x2−3x)−4)f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(\sqrt{\sqrt{\frac{\left(5 x^{2} - 6 x\right) + 1}{\left(- 5 x^{2} + 7 x\right) - 2}}} \right)}}{\log{\left(\left(x^{2} - 3 x\right) - 4 \right)}} 
f = log(sqrt(sqrt((5*x^2 - 6*x + 1)/(-5*x^2 + 7*x - 2))))/log(x^2 - 3*x - 4)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.02-0.02
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1.19258240356725x_{1} = -1.19258240356725
x2=0.4x_{2} = 0.4
x3=1x_{3} = 1
x4=4.19258240356725x_{4} = 4.19258240356725
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡((5x2−6x)+1(−5x2+7x)−2)log⁡((x2−3x)−4)=0\frac{\log{\left(\sqrt{\sqrt{\frac{\left(5 x^{2} - 6 x\right) + 1}{\left(- 5 x^{2} + 7 x\right) - 2}}} \right)}}{\log{\left(\left(x^{2} - 3 x\right) - 4 \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=310x_{1} = \frac{3}{10}
Solución numérica
x1=4x_{1} = 4
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(sqrt(sqrt((5*x^2 - 6*x + 1)/(-5*x^2 + 7*x - 2))))/log(x^2 - 3*x - 4).
log⁡((5⋅02−0)+1−2+(−5⋅02+0⋅7))log⁡(−4+(02−0))\frac{\log{\left(\sqrt{\sqrt{\frac{\left(5 \cdot 0^{2} - 0\right) + 1}{-2 + \left(- 5 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 7\right)}}} \right)}}{\log{\left(-4 + \left(0^{2} - 0\right) \right)}}
Resultado:
f(0)=log⁡(234i2)log⁡(4)+iπf{\left(0 \right)} = \frac{\log{\left(\frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt{i}}{2} \right)}}{\log{\left(4 \right)} + i \pi}
Punto:
(0, log(2^(3/4)*sqrt(i)/2)/(pi*i + log(4)))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−(2x−3)log⁡((5x2−6x)+1(−5x2+7x)−2)((x2−3x)−4)log⁡((x2−3x)−4)2+((10x−7)((5x2−6x)+1)2((−5x2+7x)−2)2+10x−62((−5x2+7x)−2))((−5x2+7x)−2)2((5x2−6x)+1)log⁡((x2−3x)−4)=0- \frac{\left(2 x - 3\right) \log{\left(\sqrt{\sqrt{\frac{\left(5 x^{2} - 6 x\right) + 1}{\left(- 5 x^{2} + 7 x\right) - 2}}} \right)}}{\left(\left(x^{2} - 3 x\right) - 4\right) \log{\left(\left(x^{2} - 3 x\right) - 4 \right)}^{2}} + \frac{\left(\frac{\left(10 x - 7\right) \left(\left(5 x^{2} - 6 x\right) + 1\right)}{2 \left(\left(- 5 x^{2} + 7 x\right) - 2\right)^{2}} + \frac{10 x - 6}{2 \left(\left(- 5 x^{2} + 7 x\right) - 2\right)}\right) \left(\left(- 5 x^{2} + 7 x\right) - 2\right)}{2 \left(\left(5 x^{2} - 6 x\right) + 1\right) \log{\left(\left(x^{2} - 3 x\right) - 4 \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1.19258240356725x_{1} = -1.19258240356725
x2=0.4x_{2} = 0.4
x3=1x_{3} = 1
x4=4.19258240356725x_{4} = 4.19258240356725
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡((5x2−6x)+1(−5x2+7x)−2)log⁡((x2−3x)−4))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\sqrt{\sqrt{\frac{\left(5 x^{2} - 6 x\right) + 1}{\left(- 5 x^{2} + 7 x\right) - 2}}} \right)}}{\log{\left(\left(x^{2} - 3 x\right) - 4 \right)}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(log⁡((5x2−6x)+1(−5x2+7x)−2)log⁡((x2−3x)−4))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\sqrt{\sqrt{\frac{\left(5 x^{2} - 6 x\right) + 1}{\left(- 5 x^{2} + 7 x\right) - 2}}} \right)}}{\log{\left(\left(x^{2} - 3 x\right) - 4 \right)}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(sqrt(sqrt((5*x^2 - 6*x + 1)/(-5*x^2 + 7*x - 2))))/log(x^2 - 3*x - 4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡((5x2−6x)+1(−5x2+7x)−2)xlog⁡((x2−3x)−4))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\sqrt{\sqrt{\frac{\left(5 x^{2} - 6 x\right) + 1}{\left(- 5 x^{2} + 7 x\right) - 2}}} \right)}}{x \log{\left(\left(x^{2} - 3 x\right) - 4 \right)}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡((5x2−6x)+1(−5x2+7x)−2)xlog⁡((x2−3x)−4))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\sqrt{\sqrt{\frac{\left(5 x^{2} - 6 x\right) + 1}{\left(- 5 x^{2} + 7 x\right) - 2}}} \right)}}{x \log{\left(\left(x^{2} - 3 x\right) - 4 \right)}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡((5x2−6x)+1(−5x2+7x)−2)log⁡((x2−3x)−4)=log⁡(5x2+6x+1−5x2−7x−24)log⁡(x2+3x−4)\frac{\log{\left(\sqrt{\sqrt{\frac{\left(5 x^{2} - 6 x\right) + 1}{\left(- 5 x^{2} + 7 x\right) - 2}}} \right)}}{\log{\left(\left(x^{2} - 3 x\right) - 4 \right)}} = \frac{\log{\left(\sqrt[4]{\frac{5 x^{2} + 6 x + 1}{- 5 x^{2} - 7 x - 2}} \right)}}{\log{\left(x^{2} + 3 x - 4 \right)}}
- No
log⁡((5x2−6x)+1(−5x2+7x)−2)log⁡((x2−3x)−4)=−log⁡(5x2+6x+1−5x2−7x−24)log⁡(x2+3x−4)\frac{\log{\left(\sqrt{\sqrt{\frac{\left(5 x^{2} - 6 x\right) + 1}{\left(- 5 x^{2} + 7 x\right) - 2}}} \right)}}{\log{\left(\left(x^{2} - 3 x\right) - 4 \right)}} = - \frac{\log{\left(\sqrt[4]{\frac{5 x^{2} + 6 x + 1}{- 5 x^{2} - 7 x - 2}} \right)}}{\log{\left(x^{2} + 3 x - 4 \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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