Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 2/log(4*(x-1))+3/log(4*(x-2))

Gráfico de la función y = 2/log(4*(x-1))+3/log(4*(x-2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
             2                3       
f(x) = -------------- + --------------
       log(4*(x - 1))   log(4*(x - 2))
f(x)=2log⁡(4(x−1))+3log⁡(4(x−2))f{\left(x \right)} = \frac{2}{\log{\left(4 \left(x - 1\right) \right)}} + \frac{3}{\log{\left(4 \left(x - 2\right) \right)}} 
f = 2/log(4*(x - 1)) + 3/log(4*(x - 2))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1.25x_{1} = 1.25
x2=2.25x_{2} = 2.25
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2log⁡(4(x−1))+3log⁡(4(x−2))=0\frac{2}{\log{\left(4 \left(x - 1\right) \right)}} + \frac{3}{\log{\left(4 \left(x - 2\right) \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2/log(4*(x - 1)) + 3/log(4*(x - 2)).
3log⁡((−2)4)+2log⁡((−1)4)\frac{3}{\log{\left(\left(-2\right) 4 \right)}} + \frac{2}{\log{\left(\left(-1\right) 4 \right)}}
Resultado:
f(0)=3log⁡(8)+iπ+2log⁡(4)+iπf{\left(0 \right)} = \frac{3}{\log{\left(8 \right)} + i \pi} + \frac{2}{\log{\left(4 \right)} + i \pi}
Punto:
(0, 2/(pi*i + log(4)) + 3/(pi*i + log(8)))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2(x−1)log⁡(4(x−1))2−3(x−2)log⁡(4(x−2))2=0- \frac{2}{\left(x - 1\right) \log{\left(4 \left(x - 1\right) \right)}^{2}} - \frac{3}{\left(x - 2\right) \log{\left(4 \left(x - 2\right) \right)}^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(x−1)2log⁡(4(x−1))2+4(x−1)2log⁡(4(x−1))3+3(x−2)2log⁡(4(x−2))2+6(x−2)2log⁡(4(x−2))3=0\frac{2}{\left(x - 1\right)^{2} \log{\left(4 \left(x - 1\right) \right)}^{2}} + \frac{4}{\left(x - 1\right)^{2} \log{\left(4 \left(x - 1\right) \right)}^{3}} + \frac{3}{\left(x - 2\right)^{2} \log{\left(4 \left(x - 2\right) \right)}^{2}} + \frac{6}{\left(x - 2\right)^{2} \log{\left(4 \left(x - 2\right) \right)}^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=216740.756810905x_{1} = 216740.756810905
x2=191296.398108988x_{2} = 191296.398108988
x3=206538.50957222x_{3} = 206538.50957222
x4=181178.458828155x_{4} = 181178.458828155
x5=201449.42374399x_{5} = 201449.42374399
x6=171097.656044387x_{6} = 171097.656044387
x7=221853.520051579x_{7} = 221853.520051579
x8=161056.277285193x_{8} = 161056.277285193
x9=176133.278421344x_{9} = 176133.278421344
x10=186232.919665788x_{10} = 186232.919665788
x11=226973.792703079x_{11} = 226973.792703079
x12=232101.397457375x_{12} = 232101.397457375
x13=166071.885319623x_{13} = 166071.885319623
x14=196368.644981948x_{14} = 196368.644981948
x15=211635.688529913x_{15} = 211635.688529913
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=1.25x_{1} = 1.25
x2=2.25x_{2} = 2.25

lim⁡x→1.25−(2(x−1)2log⁡(4(x−1))2+4(x−1)2log⁡(4(x−1))3+3(x−2)2log⁡(4(x−2))2+6(x−2)2log⁡(4(x−2))3)=−∞\lim_{x \to 1.25^-}\left(\frac{2}{\left(x - 1\right)^{2} \log{\left(4 \left(x - 1\right) \right)}^{2}} + \frac{4}{\left(x - 1\right)^{2} \log{\left(4 \left(x - 1\right) \right)}^{3}} + \frac{3}{\left(x - 2\right)^{2} \log{\left(4 \left(x - 2\right) \right)}^{2}} + \frac{6}{\left(x - 2\right)^{2} \log{\left(4 \left(x - 2\right) \right)}^{3}}\right) = -\infty
lim⁡x→1.25+(2(x−1)2log⁡(4(x−1))2+4(x−1)2log⁡(4(x−1))3+3(x−2)2log⁡(4(x−2))2+6(x−2)2log⁡(4(x−2))3)=∞\lim_{x \to 1.25^+}\left(\frac{2}{\left(x - 1\right)^{2} \log{\left(4 \left(x - 1\right) \right)}^{2}} + \frac{4}{\left(x - 1\right)^{2} \log{\left(4 \left(x - 1\right) \right)}^{3}} + \frac{3}{\left(x - 2\right)^{2} \log{\left(4 \left(x - 2\right) \right)}^{2}} + \frac{6}{\left(x - 2\right)^{2} \log{\left(4 \left(x - 2\right) \right)}^{3}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=1.25x_{1} = 1.25
- es el punto de flexión
lim⁡x→2.25−(2(x−1)2log⁡(4(x−1))2+4(x−1)2log⁡(4(x−1))3+3(x−2)2log⁡(4(x−2))2+6(x−2)2log⁡(4(x−2))3)=−∞\lim_{x \to 2.25^-}\left(\frac{2}{\left(x - 1\right)^{2} \log{\left(4 \left(x - 1\right) \right)}^{2}} + \frac{4}{\left(x - 1\right)^{2} \log{\left(4 \left(x - 1\right) \right)}^{3}} + \frac{3}{\left(x - 2\right)^{2} \log{\left(4 \left(x - 2\right) \right)}^{2}} + \frac{6}{\left(x - 2\right)^{2} \log{\left(4 \left(x - 2\right) \right)}^{3}}\right) = -\infty
lim⁡x→2.25+(2(x−1)2log⁡(4(x−1))2+4(x−1)2log⁡(4(x−1))3+3(x−2)2log⁡(4(x−2))2+6(x−2)2log⁡(4(x−2))3)=∞\lim_{x \to 2.25^+}\left(\frac{2}{\left(x - 1\right)^{2} \log{\left(4 \left(x - 1\right) \right)}^{2}} + \frac{4}{\left(x - 1\right)^{2} \log{\left(4 \left(x - 1\right) \right)}^{3}} + \frac{3}{\left(x - 2\right)^{2} \log{\left(4 \left(x - 2\right) \right)}^{2}} + \frac{6}{\left(x - 2\right)^{2} \log{\left(4 \left(x - 2\right) \right)}^{3}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x2=2.25x_{2} = 2.25
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1.25x_{1} = 1.25
x2=2.25x_{2} = 2.25
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(2log⁡(4(x−1))+3log⁡(4(x−2)))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2}{\log{\left(4 \left(x - 1\right) \right)}} + \frac{3}{\log{\left(4 \left(x - 2\right) \right)}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(2log⁡(4(x−1))+3log⁡(4(x−2)))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{\log{\left(4 \left(x - 1\right) \right)}} + \frac{3}{\log{\left(4 \left(x - 2\right) \right)}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2/log(4*(x - 1)) + 3/log(4*(x - 2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2log⁡(4(x−1))+3log⁡(4(x−2))x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{2}{\log{\left(4 \left(x - 1\right) \right)}} + \frac{3}{\log{\left(4 \left(x - 2\right) \right)}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(2log⁡(4(x−1))+3log⁡(4(x−2))x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{2}{\log{\left(4 \left(x - 1\right) \right)}} + \frac{3}{\log{\left(4 \left(x - 2\right) \right)}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2log⁡(4(x−1))+3log⁡(4(x−2))=2log⁡(−4x−4)+3log⁡(−4x−8)\frac{2}{\log{\left(4 \left(x - 1\right) \right)}} + \frac{3}{\log{\left(4 \left(x - 2\right) \right)}} = \frac{2}{\log{\left(- 4 x - 4 \right)}} + \frac{3}{\log{\left(- 4 x - 8 \right)}}
- No
2log⁡(4(x−1))+3log⁡(4(x−2))=−2log⁡(−4x−4)−3log⁡(−4x−8)\frac{2}{\log{\left(4 \left(x - 1\right) \right)}} + \frac{3}{\log{\left(4 \left(x - 2\right) \right)}} = - \frac{2}{\log{\left(- 4 x - 4 \right)}} - \frac{3}{\log{\left(- 4 x - 8 \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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