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Trazado el gráfico de la función/ log(x+2,(2*x-21)/(x-6))-1

Gráfico de la función y = log(x+2,(2*x-21)/(x-6))-1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /       2*x - 21\    
f(x) = log|x + 2, --------| - 1
          \        x - 6  /
$$f{\left(x \right)} = \log{\left(x + 2 \right)} - 1$$ 
Eq(f, log(x + 2, (2*x - 21)/(x - 6)) - 1)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 6$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\log{\left(x + 2 \right)} - 1 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 3$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2.99999888556004$$
$$x_{2} = 3.00000068693659$$
$$x_{3} = 3.00000055130133$$
$$x_{4} = 2.9999996150199$$
$$x_{5} = 2.99999838674118$$
$$x_{6} = 2.99999989805919$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x + 2, (2*x - 21)/(x - 6)) - 1.
$$-1 + \log{\left(2 \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = -1 + \frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(\frac{7}{2} \right)}}$$
Punto:
(0, -1 + log(2)/log(7/2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(\frac{2}{x - 6} - \frac{2 x - 21}{\left(x - 6\right)^{2}}\right) \left. \frac{\partial}{\partial \xi_{2}} \frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{\log{\left(\xi_{2} \right)}} \right|_{\substack{ \xi_{2}=\frac{2 x - 21}{x - 6} }} + \frac{1}{x + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 67.1762419364251$$
$$x_{2} = 3.88862078372286$$
Signos de extremos en los puntos:
(67.17624193642506, 5.8694008233102)

(3.8886207837228577, -0.0335639018624464)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
La función no tiene puntos máximos
Crece en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 6$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\log{\left(x + 2 \right)} - 1\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(x + 2 \right)} - 1\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x + 2, (2*x - 21)/(x - 6)) - 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x + 2 \right)} - 1}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x + 2 \right)} - 1}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\log{\left(x + 2 \right)} - 1 = -1 + \frac{\log{\left(2 - x \right)}}{\log{\left(\frac{- 2 x - 21}{- x - 6} \right)}}$$
- No
$$\log{\left(x + 2 \right)} - 1 = 1 - \frac{\log{\left(2 - x \right)}}{\log{\left(\frac{- 2 x - 21}{- x - 6} \right)}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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