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Trazado el gráfico de la función/ log((|x^2|))-1/x^2-1

Gráfico de la función y = log((|x^2|))-1/x^2-1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /| 2|\   1     
f(x) = log\|x |/ - -- - 1
                    2    
                   x
f(x)=(log⁡(∣x2∣)−1x2)−1f{\left(x \right)} = \left(\log{\left(\left|{x^{2}}\right| \right)} - \frac{1}{x^{2}}\right) - 1 
f = log(|x^2|) - 1/x^2 - 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-500500
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(log⁡(∣x2∣)−1x2)−1=0\left(\log{\left(\left|{x^{2}}\right| \right)} - \frac{1}{x^{2}}\right) - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−eW(e−1)2+12x_{1} = - e^{\frac{W\left(e^{-1}\right)}{2} + \frac{1}{2}}
x2=eW(e−1)2+12x_{2} = e^{\frac{W\left(e^{-1}\right)}{2} + \frac{1}{2}}
Solución numérica
x1=−1.89502545541442x_{1} = -1.89502545541442
x2=1.89502545541442x_{2} = 1.89502545541442
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(|x^2|) - 1/x^2 - 1.
(log⁡(∣02∣)−102)−1\left(\log{\left(\left|{0^{2}}\right| \right)} - \frac{1}{0^{2}}\right) - 1
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2xsign⁡(x2)∣x2∣+2x3=0\frac{2 x \operatorname{sign}{\left(x^{2} \right)}}{\left|{x^{2}}\right|} + \frac{2}{x^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(4x2δ(x2)∣x2∣+sign⁡(x2)∣x2∣−2sign⁡2(x2)x2−3x4)=02 \left(\frac{4 x^{2} \delta\left(x^{2}\right)}{\left|{x^{2}}\right|} + \frac{\operatorname{sign}{\left(x^{2} \right)}}{\left|{x^{2}}\right|} - \frac{2 \operatorname{sign}^{2}{\left(x^{2} \right)}}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((log⁡(∣x2∣)−1x2)−1)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\log{\left(\left|{x^{2}}\right| \right)} - \frac{1}{x^{2}}\right) - 1\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((log⁡(∣x2∣)−1x2)−1)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(\log{\left(\left|{x^{2}}\right| \right)} - \frac{1}{x^{2}}\right) - 1\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(|x^2|) - 1/x^2 - 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((log⁡(∣x2∣)−1x2)−1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\log{\left(\left|{x^{2}}\right| \right)} - \frac{1}{x^{2}}\right) - 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((log⁡(∣x2∣)−1x2)−1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\log{\left(\left|{x^{2}}\right| \right)} - \frac{1}{x^{2}}\right) - 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(log⁡(∣x2∣)−1x2)−1=(log⁡(∣x2∣)−1x2)−1\left(\log{\left(\left|{x^{2}}\right| \right)} - \frac{1}{x^{2}}\right) - 1 = \left(\log{\left(\left|{x^{2}}\right| \right)} - \frac{1}{x^{2}}\right) - 1
- Sí
(log⁡(∣x2∣)−1x2)−1=(−log⁡(∣x2∣)+1x2)+1\left(\log{\left(\left|{x^{2}}\right| \right)} - \frac{1}{x^{2}}\right) - 1 = \left(- \log{\left(\left|{x^{2}}\right| \right)} + \frac{1}{x^{2}}\right) + 1
- No
es decir, función
es
par
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