Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
y=x^3-6x^2+8x
-
y=x^2+2x
-
y=x^2(x+3)
-
y=(x+1)/(x-1)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(x^ dos - nueve)/(x+ tres)(x- uno)
- raíz cuadrada de (x al cuadrado menos 9) dividir por (x más 3)(x menos 1)
- raíz cuadrada de (x en el grado dos menos nueve) dividir por (x más tres)(x menos uno)
- √(x^2-9)/(x+3)(x-1)
- sqrt(x2-9)/(x+3)(x-1)
- sqrtx2-9/x+3x-1
- sqrt(x²-9)/(x+3)(x-1)
- sqrt(x en el grado 2-9)/(x+3)(x-1)
- sqrtx^2-9/x+3x-1
- sqrt(x^2-9) dividir por (x+3)(x-1)
-
Expresiones semejantes
- sqrt(x^2-9)/(x-3)(x-1)
- sqrt(x^2+9)/(x+3)(x-1)
- sqrt(x^2-9)/(x+3)(x+1)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x)^3-2/x-4/x^5-5*x^3
- sqrt(-20+x+x^2)
- sqrt(-x^2+4x-5)
- sqrt((x+5)(x-8))
- sqrt(8-2*x-2*x^2)
Gráfico de la función y = sqrt(x^2-9)/(x+3)(x-1)
Solución
Ha introducido
[src]
________
/ 2
\/ x - 9
f(x) = -----------*(x - 1)
x + 3
$$f{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x + 3} \left(x - 1\right)$$
f = (sqrt(x^2 - 9)/(x + 3))*(x - 1)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{1} = -3$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x + 3} \left(x - 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x + 3} \left(x - 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(x - 1\right) \left(\frac{x}{\left(x + 3\right) \sqrt{x^{2} - 9}} - \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{\left(x + 3\right)^{2}}\right) + \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x + 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{57}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{57}}{2} - \frac{3}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{57}}{2} - \frac{3}{2}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{57}}{2} - \frac{3}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{57}}{2} - \frac{3}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(x - 1\right) \left(\frac{x}{\left(x + 3\right) \sqrt{x^{2} - 9}} - \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{\left(x + 3\right)^{2}}\right) + \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x + 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{57}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{57}}{2} - \frac{3}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
______________________
/ 2
/ / ____\ / ____\
/ | 3 \/ 57 | | 5 \/ 57 |
____ / -9 + |- - + ------| *|- - + ------|
3 \/ 57 \/ \ 2 2 / \ 2 2 /
(- - + ------, -------------------------------------------)
2 2 ____
3 \/ 57
- + ------
2 2 ______________________
/ 2
/ / ____\ / ____\
/ | 3 \/ 57 | | 5 \/ 57 |
____ / -9 + |- - - ------| *|- - - ------|
3 \/ 57 \/ \ 2 2 / \ 2 2 /
(- - - ------, -------------------------------------------)
2 2 ____
3 \/ 57
- - ------
2 2 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{57}}{2} - \frac{3}{2}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{57}}{2} - \frac{3}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{57}}{2} - \frac{3}{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - 9}} - \left(x - 1\right) \left(\frac{2 x}{\left(x + 3\right) \sqrt{x^{2} - 9}} + \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} - 9} - 1}{\sqrt{x^{2} - 9}} - \frac{2 \sqrt{x^{2} - 9}}{\left(x + 3\right)^{2}}\right) - \frac{2 \sqrt{x^{2} - 9}}{x + 3}}{x + 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{21}{5}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -3$$
$$\lim_{x \to -3^-}\left(\frac{\frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - 9}} - \left(x - 1\right) \left(\frac{2 x}{\left(x + 3\right) \sqrt{x^{2} - 9}} + \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} - 9} - 1}{\sqrt{x^{2} - 9}} - \frac{2 \sqrt{x^{2} - 9}}{\left(x + 3\right)^{2}}\right) - \frac{2 \sqrt{x^{2} - 9}}{x + 3}}{x + 3}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -3^+}\left(\frac{\frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - 9}} - \left(x - 1\right) \left(\frac{2 x}{\left(x + 3\right) \sqrt{x^{2} - 9}} + \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} - 9} - 1}{\sqrt{x^{2} - 9}} - \frac{2 \sqrt{x^{2} - 9}}{\left(x + 3\right)^{2}}\right) - \frac{2 \sqrt{x^{2} - 9}}{x + 3}}{x + 3}\right) = - \infty i$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -3$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{21}{5}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{21}{5}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - 9}} - \left(x - 1\right) \left(\frac{2 x}{\left(x + 3\right) \sqrt{x^{2} - 9}} + \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} - 9} - 1}{\sqrt{x^{2} - 9}} - \frac{2 \sqrt{x^{2} - 9}}{\left(x + 3\right)^{2}}\right) - \frac{2 \sqrt{x^{2} - 9}}{x + 3}}{x + 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{21}{5}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -3$$
$$\lim_{x \to -3^-}\left(\frac{\frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - 9}} - \left(x - 1\right) \left(\frac{2 x}{\left(x + 3\right) \sqrt{x^{2} - 9}} + \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} - 9} - 1}{\sqrt{x^{2} - 9}} - \frac{2 \sqrt{x^{2} - 9}}{\left(x + 3\right)^{2}}\right) - \frac{2 \sqrt{x^{2} - 9}}{x + 3}}{x + 3}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -3^+}\left(\frac{\frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - 9}} - \left(x - 1\right) \left(\frac{2 x}{\left(x + 3\right) \sqrt{x^{2} - 9}} + \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} - 9} - 1}{\sqrt{x^{2} - 9}} - \frac{2 \sqrt{x^{2} - 9}}{\left(x + 3\right)^{2}}\right) - \frac{2 \sqrt{x^{2} - 9}}{x + 3}}{x + 3}\right) = - \infty i$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -3$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{21}{5}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{21}{5}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{1} = -3$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x + 3} \left(x - 1\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x + 3} \left(x - 1\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x + 3} \left(x - 1\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x + 3} \left(x - 1\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (sqrt(x^2 - 9)/(x + 3))*(x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 1\right) \sqrt{x^{2} - 9}}{x \left(x + 3\right)}\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 1\right) \sqrt{x^{2} - 9}}{x \left(x + 3\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 1\right) \sqrt{x^{2} - 9}}{x \left(x + 3\right)}\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 1\right) \sqrt{x^{2} - 9}}{x \left(x + 3\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x + 3} \left(x - 1\right) = \frac{\left(- x - 1\right) \sqrt{x^{2} - 9}}{3 - x}$$
- No
$$\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x + 3} \left(x - 1\right) = - \frac{\left(- x - 1\right) \sqrt{x^{2} - 9}}{3 - x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x + 3} \left(x - 1\right) = \frac{\left(- x - 1\right) \sqrt{x^{2} - 9}}{3 - x}$$
- No
$$\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x + 3} \left(x - 1\right) = - \frac{\left(- x - 1\right) \sqrt{x^{2} - 9}}{3 - x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar