Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt(x-1)/sqrt(x^2-x-1)

Gráfico de la función y = sqrt(x-1)/sqrt(x^2-x-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            _______   
          \/ x - 1    
f(x) = ---------------
          ____________
         /  2         
       \/  x  - x - 1
f(x)=x−1(x2−x)−1f{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{\left(x^{2} - x\right) - 1}} 
f = sqrt(x - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−0.618033988749895x_{1} = -0.618033988749895
x2=1.61803398874989x_{2} = 1.61803398874989
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x−1(x2−x)−1=0\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{\left(x^{2} - x\right) - 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(x - 1)/sqrt(x^2 - x - 1).
−1−1+(02−0)\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{-1 + \left(0^{2} - 0\right)}}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−x−1(x−12)((x2−x)−1)32+12x−1(x2−x)−1=0- \frac{\sqrt{x - 1} \left(x - \frac{1}{2}\right)}{\left(\left(x^{2} - x\right) - 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x - 1} \sqrt{\left(x^{2} - x\right) - 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−x−1(3(2x−1)2−x2+x+1+4)x2−x−1+2(2x−1)x−1(x2−x−1)+1(x−1)324x2−x−1=0- \frac{\frac{\sqrt{x - 1} \left(\frac{3 \left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 1} + 4\right)}{x^{2} - x - 1} + \frac{2 \left(2 x - 1\right)}{\sqrt{x - 1} \left(x^{2} - x - 1\right)} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}}{4 \sqrt{x^{2} - x - 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−−209+3281138581+3417293+2138581+34172932+−409−2138581+3417293−3281138581+3417293+83−209+3281138581+3417293+2138581+34172932+1x_{1} = - \frac{\sqrt{- \frac{20}{9} + \frac{32}{81 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}}}{2} + \frac{\sqrt{- \frac{40}{9} - 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}} - \frac{32}{81 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}} + \frac{8}{3 \sqrt{- \frac{20}{9} + \frac{32}{81 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}}}}}{2} + 1
x2=−−409−2138581+3417293−3281138581+3417293+83−209+3281138581+3417293+2138581+34172932−−209+3281138581+3417293+2138581+34172932+1x_{2} = - \frac{\sqrt{- \frac{40}{9} - 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}} - \frac{32}{81 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}} + \frac{8}{3 \sqrt{- \frac{20}{9} + \frac{32}{81 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}}}}}{2} - \frac{\sqrt{- \frac{20}{9} + \frac{32}{81 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}}}{2} + 1
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−0.618033988749895x_{1} = -0.618033988749895
x2=1.61803398874989x_{2} = 1.61803398874989

lim⁡x→−0.618033988749895−(−x−1(3(2x−1)2−x2+x+1+4)x2−x−1+2(2x−1)x−1(x2−x−1)+1(x−1)324x2−x−1)=3.67281888922288⋅1040i\lim_{x \to -0.618033988749895^-}\left(- \frac{\frac{\sqrt{x - 1} \left(\frac{3 \left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 1} + 4\right)}{x^{2} - x - 1} + \frac{2 \left(2 x - 1\right)}{\sqrt{x - 1} \left(x^{2} - x - 1\right)} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}}{4 \sqrt{x^{2} - x - 1}}\right) = 3.67281888922288 \cdot 10^{40} i
lim⁡x→−0.618033988749895+(−x−1(3(2x−1)2−x2+x+1+4)x2−x−1+2(2x−1)x−1(x2−x−1)+1(x−1)324x2−x−1)=3.67281888922288⋅1040i\lim_{x \to -0.618033988749895^+}\left(- \frac{\frac{\sqrt{x - 1} \left(\frac{3 \left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 1} + 4\right)}{x^{2} - x - 1} + \frac{2 \left(2 x - 1\right)}{\sqrt{x - 1} \left(x^{2} - x - 1\right)} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}}{4 \sqrt{x^{2} - x - 1}}\right) = 3.67281888922288 \cdot 10^{40} i
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
lim⁡x→1.61803398874989−(−x−1(3(2x−1)2−x2+x+1+4)x2−x−1+2(2x−1)x−1(x2−x−1)+1(x−1)324x2−x−1)=−∞i\lim_{x \to 1.61803398874989^-}\left(- \frac{\frac{\sqrt{x - 1} \left(\frac{3 \left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 1} + 4\right)}{x^{2} - x - 1} + \frac{2 \left(2 x - 1\right)}{\sqrt{x - 1} \left(x^{2} - x - 1\right)} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}}{4 \sqrt{x^{2} - x - 1}}\right) = - \infty i
lim⁡x→1.61803398874989+(−x−1(3(2x−1)2−x2+x+1+4)x2−x−1+2(2x−1)x−1(x2−x−1)+1(x−1)324x2−x−1)=∞\lim_{x \to 1.61803398874989^+}\left(- \frac{\frac{\sqrt{x - 1} \left(\frac{3 \left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 1} + 4\right)}{x^{2} - x - 1} + \frac{2 \left(2 x - 1\right)}{\sqrt{x - 1} \left(x^{2} - x - 1\right)} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}}{4 \sqrt{x^{2} - x - 1}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x2=1.61803398874989x_{2} = 1.61803398874989
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−−409−2138581+3417293−3281138581+3417293+83−209+3281138581+3417293+2138581+34172932−−209+3281138581+3417293+2138581+34172932+1]\left(-\infty, - \frac{\sqrt{- \frac{40}{9} - 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}} - \frac{32}{81 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}} + \frac{8}{3 \sqrt{- \frac{20}{9} + \frac{32}{81 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}}}}}{2} - \frac{\sqrt{- \frac{20}{9} + \frac{32}{81 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}}}{2} + 1\right]
Convexa en los intervalos
[−−409−2138581+3417293−3281138581+3417293+83−209+3281138581+3417293+2138581+34172932−−209+3281138581+3417293+2138581+34172932+1,∞)\left[- \frac{\sqrt{- \frac{40}{9} - 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}} - \frac{32}{81 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}} + \frac{8}{3 \sqrt{- \frac{20}{9} + \frac{32}{81 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}}}}}{2} - \frac{\sqrt{- \frac{20}{9} + \frac{32}{81 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}}}{2} + 1, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−0.618033988749895x_{1} = -0.618033988749895
x2=1.61803398874989x_{2} = 1.61803398874989
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x−1(x2−x)−1)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{\left(x^{2} - x\right) - 1}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(x−1(x2−x)−1)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{\left(x^{2} - x\right) - 1}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(x - 1)/sqrt(x^2 - x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x−1x(x2−x)−1)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x - 1}}{x \sqrt{\left(x^{2} - x\right) - 1}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(x−1x(x2−x)−1)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x - 1}}{x \sqrt{\left(x^{2} - x\right) - 1}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x−1(x2−x)−1=−x−1x2+x−1\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{\left(x^{2} - x\right) - 1}} = \frac{\sqrt{- x - 1}}{\sqrt{x^{2} + x - 1}}
- No
x−1(x2−x)−1=−−x−1x2+x−1\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{\left(x^{2} - x\right) - 1}} = - \frac{\sqrt{- x - 1}}{\sqrt{x^{2} + x - 1}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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