Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^2+x+1
-
y=x^3-3x^2+4
-
e^x/x
-
5-x
- Derivada de:
-
sqrt(x-1)/sqrt(x^2-x-1)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(x- uno)/sqrt(x^ dos -x- uno)
- raíz cuadrada de (x menos 1) dividir por raíz cuadrada de (x al cuadrado menos x menos 1)
- raíz cuadrada de (x menos uno) dividir por raíz cuadrada de (x en el grado dos menos x menos uno)
- √(x-1)/√(x^2-x-1)
- sqrt(x-1)/sqrt(x2-x-1)
- sqrtx-1/sqrtx2-x-1
- sqrt(x-1)/sqrt(x²-x-1)
- sqrt(x-1)/sqrt(x en el grado 2-x-1)
- sqrtx-1/sqrtx^2-x-1
- sqrt(x-1) dividir por sqrt(x^2-x-1)
-
Expresiones semejantes
- sqrt(x-1)/sqrt(x^2-x+1)
- sqrt(x+1)/sqrt(x^2-x-1)
- sqrt(x-1)/sqrt(x^2+x-1)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x)+5
- sqrt(5*x-x^2)
- sqrtx
- sqrt(x)+x^2
- sqrt(x+2)
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x)+5
- sqrt(5*x-x^2)
- sqrtx
- sqrt(x)+x^2
- sqrt(x+2)
Gráfico de la función y = sqrt(x-1)/sqrt(x^2-x-1)
Solución
Ha introducido
[src]
_______
\/ x - 1
f(x) = ---------------
____________
/ 2
\/ x - x - 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{\left(x^{2} - x\right) - 1}}$$
f = sqrt(x - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -0.618033988749895$$
$$x_{2} = 1.61803398874989$$
$$x_{1} = -0.618033988749895$$
$$x_{2} = 1.61803398874989$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{\left(x^{2} - x\right) - 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{\left(x^{2} - x\right) - 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\sqrt{x - 1} \left(x - \frac{1}{2}\right)}{\left(\left(x^{2} - x\right) - 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x - 1} \sqrt{\left(x^{2} - x\right) - 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\sqrt{x - 1} \left(x - \frac{1}{2}\right)}{\left(\left(x^{2} - x\right) - 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x - 1} \sqrt{\left(x^{2} - x\right) - 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{\frac{\sqrt{x - 1} \left(\frac{3 \left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 1} + 4\right)}{x^{2} - x - 1} + \frac{2 \left(2 x - 1\right)}{\sqrt{x - 1} \left(x^{2} - x - 1\right)} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}}{4 \sqrt{x^{2} - x - 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{- \frac{20}{9} + \frac{32}{81 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}}}{2} + \frac{\sqrt{- \frac{40}{9} - 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}} - \frac{32}{81 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}} + \frac{8}{3 \sqrt{- \frac{20}{9} + \frac{32}{81 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}}}}}{2} + 1$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{- \frac{40}{9} - 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}} - \frac{32}{81 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}} + \frac{8}{3 \sqrt{- \frac{20}{9} + \frac{32}{81 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}}}}}{2} - \frac{\sqrt{- \frac{20}{9} + \frac{32}{81 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}}}{2} + 1$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -0.618033988749895$$
$$x_{2} = 1.61803398874989$$
$$\lim_{x \to -0.618033988749895^-}\left(- \frac{\frac{\sqrt{x - 1} \left(\frac{3 \left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 1} + 4\right)}{x^{2} - x - 1} + \frac{2 \left(2 x - 1\right)}{\sqrt{x - 1} \left(x^{2} - x - 1\right)} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}}{4 \sqrt{x^{2} - x - 1}}\right) = 3.67281888922288 \cdot 10^{40} i$$
$$\lim_{x \to -0.618033988749895^+}\left(- \frac{\frac{\sqrt{x - 1} \left(\frac{3 \left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 1} + 4\right)}{x^{2} - x - 1} + \frac{2 \left(2 x - 1\right)}{\sqrt{x - 1} \left(x^{2} - x - 1\right)} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}}{4 \sqrt{x^{2} - x - 1}}\right) = 3.67281888922288 \cdot 10^{40} i$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 1.61803398874989^-}\left(- \frac{\frac{\sqrt{x - 1} \left(\frac{3 \left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 1} + 4\right)}{x^{2} - x - 1} + \frac{2 \left(2 x - 1\right)}{\sqrt{x - 1} \left(x^{2} - x - 1\right)} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}}{4 \sqrt{x^{2} - x - 1}}\right) = - \infty i$$
$$\lim_{x \to 1.61803398874989^+}\left(- \frac{\frac{\sqrt{x - 1} \left(\frac{3 \left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 1} + 4\right)}{x^{2} - x - 1} + \frac{2 \left(2 x - 1\right)}{\sqrt{x - 1} \left(x^{2} - x - 1\right)} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}}{4 \sqrt{x^{2} - x - 1}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1.61803398874989$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{- \frac{40}{9} - 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}} - \frac{32}{81 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}} + \frac{8}{3 \sqrt{- \frac{20}{9} + \frac{32}{81 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}}}}}{2} - \frac{\sqrt{- \frac{20}{9} + \frac{32}{81 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}}}{2} + 1\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{- \frac{40}{9} - 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}} - \frac{32}{81 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}} + \frac{8}{3 \sqrt{- \frac{20}{9} + \frac{32}{81 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}}}}}{2} - \frac{\sqrt{- \frac{20}{9} + \frac{32}{81 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}}}{2} + 1, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{\frac{\sqrt{x - 1} \left(\frac{3 \left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 1} + 4\right)}{x^{2} - x - 1} + \frac{2 \left(2 x - 1\right)}{\sqrt{x - 1} \left(x^{2} - x - 1\right)} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}}{4 \sqrt{x^{2} - x - 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{- \frac{20}{9} + \frac{32}{81 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}}}{2} + \frac{\sqrt{- \frac{40}{9} - 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}} - \frac{32}{81 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}} + \frac{8}{3 \sqrt{- \frac{20}{9} + \frac{32}{81 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}}}}}{2} + 1$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{- \frac{40}{9} - 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}} - \frac{32}{81 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}} + \frac{8}{3 \sqrt{- \frac{20}{9} + \frac{32}{81 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}}}}}{2} - \frac{\sqrt{- \frac{20}{9} + \frac{32}{81 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}}}{2} + 1$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -0.618033988749895$$
$$x_{2} = 1.61803398874989$$
$$\lim_{x \to -0.618033988749895^-}\left(- \frac{\frac{\sqrt{x - 1} \left(\frac{3 \left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 1} + 4\right)}{x^{2} - x - 1} + \frac{2 \left(2 x - 1\right)}{\sqrt{x - 1} \left(x^{2} - x - 1\right)} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}}{4 \sqrt{x^{2} - x - 1}}\right) = 3.67281888922288 \cdot 10^{40} i$$
$$\lim_{x \to -0.618033988749895^+}\left(- \frac{\frac{\sqrt{x - 1} \left(\frac{3 \left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 1} + 4\right)}{x^{2} - x - 1} + \frac{2 \left(2 x - 1\right)}{\sqrt{x - 1} \left(x^{2} - x - 1\right)} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}}{4 \sqrt{x^{2} - x - 1}}\right) = 3.67281888922288 \cdot 10^{40} i$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 1.61803398874989^-}\left(- \frac{\frac{\sqrt{x - 1} \left(\frac{3 \left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 1} + 4\right)}{x^{2} - x - 1} + \frac{2 \left(2 x - 1\right)}{\sqrt{x - 1} \left(x^{2} - x - 1\right)} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}}{4 \sqrt{x^{2} - x - 1}}\right) = - \infty i$$
$$\lim_{x \to 1.61803398874989^+}\left(- \frac{\frac{\sqrt{x - 1} \left(\frac{3 \left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 1} + 4\right)}{x^{2} - x - 1} + \frac{2 \left(2 x - 1\right)}{\sqrt{x - 1} \left(x^{2} - x - 1\right)} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}}{4 \sqrt{x^{2} - x - 1}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1.61803398874989$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{- \frac{40}{9} - 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}} - \frac{32}{81 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}} + \frac{8}{3 \sqrt{- \frac{20}{9} + \frac{32}{81 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}}}}}{2} - \frac{\sqrt{- \frac{20}{9} + \frac{32}{81 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}}}{2} + 1\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{- \frac{40}{9} - 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}} - \frac{32}{81 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}} + \frac{8}{3 \sqrt{- \frac{20}{9} + \frac{32}{81 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}}}}}{2} - \frac{\sqrt{- \frac{20}{9} + \frac{32}{81 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1385}}{81} + \frac{341}{729}}}}{2} + 1, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -0.618033988749895$$
$$x_{2} = 1.61803398874989$$
$$x_{1} = -0.618033988749895$$
$$x_{2} = 1.61803398874989$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{\left(x^{2} - x\right) - 1}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{\left(x^{2} - x\right) - 1}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{\left(x^{2} - x\right) - 1}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{\left(x^{2} - x\right) - 1}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(x - 1)/sqrt(x^2 - x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x - 1}}{x \sqrt{\left(x^{2} - x\right) - 1}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x - 1}}{x \sqrt{\left(x^{2} - x\right) - 1}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x - 1}}{x \sqrt{\left(x^{2} - x\right) - 1}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x - 1}}{x \sqrt{\left(x^{2} - x\right) - 1}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{\left(x^{2} - x\right) - 1}} = \frac{\sqrt{- x - 1}}{\sqrt{x^{2} + x - 1}}$$
- No
$$\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{\left(x^{2} - x\right) - 1}} = - \frac{\sqrt{- x - 1}}{\sqrt{x^{2} + x - 1}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{\left(x^{2} - x\right) - 1}} = \frac{\sqrt{- x - 1}}{\sqrt{x^{2} + x - 1}}$$
- No
$$\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{\left(x^{2} - x\right) - 1}} = - \frac{\sqrt{- x - 1}}{\sqrt{x^{2} + x - 1}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar