Sr Examen

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x^sinx
Trazado el gráfico de la función/ x^sinx

Gráfico de la función y = x^sinx

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        sin(x)
f(x) = x
f(x)=xsin⁡(x)f{\left(x \right)} = x^{\sin{\left(x \right)}} 
f = x^sin(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
xsin⁡(x)=0x^{\sin{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^sin(x).
0sin⁡(0)0^{\sin{\left(0 \right)}}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
xsin⁡(x)(log⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡(x)x)=0x^{\sin{\left(x \right)}} \left(\log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=17.2990352355066x_{1} = 17.2990352355066
x2=64.406377021222x_{2} = 64.406377021222
x3=92.6793655993772x_{3} = 92.6793655993772
x4=4.84255834039212x_{4} = 4.84255834039212
x5=2.12761582523344x_{5} = 2.12761582523344
x6=20.4365678012128x_{6} = 20.4365678012128
x7=58.1236989891669x_{7} = 58.1236989891669
x8=42.4177914906586x_{8} = 42.4177914906586
x9=36.1360296011875x_{9} = 36.1360296011875
x10=61.2650231149052x_{10} = 61.2650231149052
x11=14.1637961865355x_{11} = 14.1637961865355
x12=67.5477561419489x_{12} = 67.5477561419489
x13=51.8411644567759x_{13} = 51.8411644567759
x14=23.5753663871051x_{14} = 23.5753663871051
x15=48.6999705880551x_{15} = 48.6999705880551
x16=86.3963937735675x_{16} = 86.3963937735675
x17=29.8549920106507x_{17} = 29.8549920106507
x18=7.91497769383021x_{18} = 7.91497769383021
x19=11.0333063655933x_{19} = 11.0333063655933
x20=98.9623678062405x_{20} = 98.9623678062405
x21=73.8305759400225x_{21} = 73.8305759400225
x22=95.8208633135828x_{22} = 95.8208633135828
x23=80.1134602593311x_{23} = 80.1134602593311
x24=54.9824103570705x_{24} = 54.9824103570705
Signos de extremos en los puntos:
(17.2990352355066, 0.0578405726994447)

(64.40637702122196, 64.4045132476644)

(92.67936559937723, 0.0107900269500121)

(4.8425583403921175, 0.20927672163936)

(2.127615825233441, 1.89828645583168)

(20.43656780121277, 20.4284625207866)

(58.12369898916687, 58.1215815946803)

(42.417791490658566, 0.0235767614876483)

(36.13602960118748, 0.027676165611995)

(61.26502311490521, 0.0163230554736959)

(14.16379618653552, 14.1504917503218)

(67.54775614194894, 0.0148047258593485)

(51.84116445677586, 51.8387217023526)

(23.57536638710508, 0.0424292311448489)

(48.69997058805509, 0.0205350073933752)

(86.3963937735675, 0.0115747310623687)

(29.854992010650733, 0.0335007682559013)

(7.914977693830208, 7.88458543944443)

(11.03330636559327, 0.0907896808608641)

(98.96236780624047, 0.0101049634683701)

(73.83057594002254, 0.0135448127069285)

(95.82086331358285, 95.8197196333544)

(80.11346025933112, 0.0124825187816151)

(54.98241035707053, 0.0181883855237675)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=17.2990352355066x_{1} = 17.2990352355066
x2=92.6793655993772x_{2} = 92.6793655993772
x3=4.84255834039212x_{3} = 4.84255834039212
x4=42.4177914906586x_{4} = 42.4177914906586
x5=36.1360296011875x_{5} = 36.1360296011875
x6=61.2650231149052x_{6} = 61.2650231149052
x7=67.5477561419489x_{7} = 67.5477561419489
x8=23.5753663871051x_{8} = 23.5753663871051
x9=48.6999705880551x_{9} = 48.6999705880551
x10=86.3963937735675x_{10} = 86.3963937735675
x11=29.8549920106507x_{11} = 29.8549920106507
x12=11.0333063655933x_{12} = 11.0333063655933
x13=98.9623678062405x_{13} = 98.9623678062405
x14=73.8305759400225x_{14} = 73.8305759400225
x15=80.1134602593311x_{15} = 80.1134602593311
x16=54.9824103570705x_{16} = 54.9824103570705
Puntos máximos de la función:
x16=64.406377021222x_{16} = 64.406377021222
x16=2.12761582523344x_{16} = 2.12761582523344
x16=20.4365678012128x_{16} = 20.4365678012128
x16=58.1236989891669x_{16} = 58.1236989891669
x16=14.1637961865355x_{16} = 14.1637961865355
x16=51.8411644567759x_{16} = 51.8411644567759
x16=7.91497769383021x_{16} = 7.91497769383021
x16=95.8208633135828x_{16} = 95.8208633135828
Decrece en los intervalos
[98.9623678062405,∞)\left[98.9623678062405, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,4.84255834039212]\left(-\infty, 4.84255834039212\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
xsin⁡(x)((log⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡(x)x)2−log⁡(x)sin⁡(x)+2cos⁡(x)x−sin⁡(x)x2)=0x^{\sin{\left(x \right)}} \left(\left(\log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}\right)^{2} - \log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} + \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=46.058794654348x_{1} = 46.058794654348
x2=26.1784451308345x_{2} = 26.1784451308345
x3=90.0004177029755x_{3} = 90.0004177029755
x4=63.926742439863x_{4} = 63.926742439863
x5=1.39528866600788x_{5} = 1.39528866600788
x6=70.2145522644066x_{6} = 70.2145522644066
x7=19.8785339066175x_{7} = 19.8785339066175
x8=8.57614575588893x_{8} = 8.57614575588893
x9=52.3332686428801x_{9} = 52.3332686428801
x10=96.2800949147904x_{10} = 96.2800949147904

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[96.2800949147904,∞)\left[96.2800949147904, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,8.57614575588893]\left(-\infty, 8.57614575588893\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞xsin⁡(x)=(−∞)⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty} x^{\sin{\left(x \right)}} = \left(-\infty\right)^{\left\langle -1, 1\right\rangle}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=(−∞)⟨−1,1⟩y = \left(-\infty\right)^{\left\langle -1, 1\right\rangle}
lim⁡x→∞xsin⁡(x)=∞⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} x^{\sin{\left(x \right)}} = \infty^{\left\langle -1, 1\right\rangle}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=∞⟨−1,1⟩y = \infty^{\left\langle -1, 1\right\rangle}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^sin(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(xsin⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{\sin{\left(x \right)}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(xsin⁡(x)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{\sin{\left(x \right)}}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
xsin⁡(x)=(−x)−sin⁡(x)x^{\sin{\left(x \right)}} = \left(- x\right)^{- \sin{\left(x \right)}}
- No
xsin⁡(x)=−(−x)−sin⁡(x)x^{\sin{\left(x \right)}} = - \left(- x\right)^{- \sin{\left(x \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = x^sinx
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