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Trazado el gráfico de la función/ (x+log10(x))/x

Gráfico de la función y = (x+log10(x))/x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            log(x)
       x + -------
           log(10)
f(x) = -----------
            x
f(x)=x+log⁡(x)log⁡(10)xf{\left(x \right)} = \frac{x + \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(10 \right)}}}{x} 
f = (x + log(x)/log(10))/x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5025
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x+log⁡(x)log⁡(10)x=0\frac{x + \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(10 \right)}}}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=W(log⁡(10))log⁡(10)x_{1} = \frac{W\left(\log{\left(10 \right)}\right)}{\log{\left(10 \right)}}
Solución numérica
x1=0.399012978260252x_{1} = 0.399012978260252
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x + log(x)/log(10))/x.
log⁡(0)1log⁡(10)0\frac{\log{\left(0 \right)} \frac{1}{\log{\left(10 \right)}}}{0}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1+1xlog⁡(10)x−x+log⁡(x)log⁡(10)x2=0\frac{1 + \frac{1}{x \log{\left(10 \right)}}}{x} - \frac{x + \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(10 \right)}}}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=ex_{1} = e
Signos de extremos en los puntos:
    /       1   \  -1 
(E, |E + -------|*e  )
    \    log(10)/


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=ex_{1} = e
Decrece en los intervalos
(−∞,e]\left(-\infty, e\right]
Crece en los intervalos
[e,∞)\left[e, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2+2(x+log⁡(x)log⁡(10))x−3xlog⁡(10)x2=0\frac{-2 + \frac{2 \left(x + \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(10 \right)}}\right)}{x} - \frac{3}{x \log{\left(10 \right)}}}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=e32x_{1} = e^{\frac{3}{2}}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(−2+2(x+log⁡(x)log⁡(10))x−3xlog⁡(10)x2)=∞\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{-2 + \frac{2 \left(x + \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(10 \right)}}\right)}{x} - \frac{3}{x \log{\left(10 \right)}}}{x^{2}}\right) = \infty
lim⁡x→0+(−2+2(x+log⁡(x)log⁡(10))x−3xlog⁡(10)x2)=−∞\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{-2 + \frac{2 \left(x + \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(10 \right)}}\right)}{x} - \frac{3}{x \log{\left(10 \right)}}}{x^{2}}\right) = -\infty
- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[e32,∞)\left[e^{\frac{3}{2}}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,e32]\left(-\infty, e^{\frac{3}{2}}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x+log⁡(x)log⁡(10)x)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(10 \right)}}}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞(x+log⁡(x)log⁡(10)x)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(10 \right)}}}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x + log(x)/log(10))/x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x+log⁡(x)log⁡(10)x2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(10 \right)}}}{x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(x+log⁡(x)log⁡(10)x2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(10 \right)}}}{x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x+log⁡(x)log⁡(10)x=−−x+log⁡(−x)log⁡(10)x\frac{x + \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(10 \right)}}}{x} = - \frac{- x + \frac{\log{\left(- x \right)}}{\log{\left(10 \right)}}}{x}
- No
x+log⁡(x)log⁡(10)x=−x+log⁡(−x)log⁡(10)x\frac{x + \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(10 \right)}}}{x} = \frac{- x + \frac{\log{\left(- x \right)}}{\log{\left(10 \right)}}}{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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