Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ arccos((1-2x)/3)

Gráfico de la función y = arccos((1-2x)/3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           /1 - 2*x\
f(x) = acos|-------|
           \   3   /
f(x)=acos⁡(1−2x3)f{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(\frac{1 - 2 x}{3} \right)} 
f = acos((1 - 2*x)/3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.05.0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
acos⁡(1−2x3)=0\operatorname{acos}{\left(\frac{1 - 2 x}{3} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
Solución numérica
x1=−1x_{1} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en acos((1 - 2*x)/3).
acos⁡(1−03)\operatorname{acos}{\left(\frac{1 - 0}{3} \right)}
Resultado:
f(0)=acos⁡(13)f{\left(0 \right)} = \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{3} \right)}
Punto:
(0, acos(1/3))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
231−(1−2x)29=0\frac{2}{3 \sqrt{1 - \frac{\left(1 - 2 x\right)^{2}}{9}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4(2x−1)27(1−(1−2x)29)32=0\frac{4 \left(2 x - 1\right)}{27 \left(1 - \frac{\left(1 - 2 x\right)^{2}}{9}\right)^{\frac{3}{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=12x_{1} = \frac{1}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[12,∞)\left[\frac{1}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,12]\left(-\infty, \frac{1}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞acos⁡(1−2x3)=∞i\lim_{x \to -\infty} \operatorname{acos}{\left(\frac{1 - 2 x}{3} \right)} = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞acos⁡(1−2x3)=−∞i\lim_{x \to \infty} \operatorname{acos}{\left(\frac{1 - 2 x}{3} \right)} = - \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función acos((1 - 2*x)/3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(acos⁡(1−2x3)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{1 - 2 x}{3} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(acos⁡(1−2x3)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{1 - 2 x}{3} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
acos⁡(1−2x3)=acos⁡(2x3+13)\operatorname{acos}{\left(\frac{1 - 2 x}{3} \right)} = \operatorname{acos}{\left(\frac{2 x}{3} + \frac{1}{3} \right)}
- No
acos⁡(1−2x3)=−acos⁡(2x3+13)\operatorname{acos}{\left(\frac{1 - 2 x}{3} \right)} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{2 x}{3} + \frac{1}{3} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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