Sr Examen

Gráfico de la función y = arccos(e^x-3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
           / x    \
f(x) = acos\E  - 3/
$$f{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(e^{x} - 3 \right)}$$
f = acos(E^x - 3)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\operatorname{acos}{\left(e^{x} - 3 \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = \log{\left(4 \right)}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1.38629436111989$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en acos(E^x - 3).
$$\operatorname{acos}{\left(-3 + e^{0} \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \operatorname{acos}{\left(-2 \right)}$$
Punto:
(0, acos(-2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{e^{x}}{\sqrt{1 - \left(e^{x} - 3\right)^{2}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{\left(1 + \frac{\left(e^{x} - 3\right) e^{x}}{1 - \left(e^{x} - 3\right)^{2}}\right) e^{x}}{\sqrt{1 - \left(e^{x} - 3\right)^{2}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \log{\left(\frac{8}{3} \right)}$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \log{\left(\frac{8}{3} \right)}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\log{\left(\frac{8}{3} \right)}, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \operatorname{acos}{\left(e^{x} - 3 \right)} = \pi + i \log{\left(3 - 2 \sqrt{2} \right)}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \pi + i \log{\left(3 - 2 \sqrt{2} \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty} \operatorname{acos}{\left(e^{x} - 3 \right)} = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función acos(E^x - 3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(e^{x} - 3 \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(e^{x} - 3 \right)}}{x}\right) = i$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = i x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\operatorname{acos}{\left(e^{x} - 3 \right)} = \operatorname{acos}{\left(-3 + e^{- x} \right)}$$
- No
$$\operatorname{acos}{\left(e^{x} - 3 \right)} = - \operatorname{acos}{\left(-3 + e^{- x} \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar