Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$- \frac{\left(1 + \frac{\left(e^{x} - 3\right) e^{x}}{1 - \left(e^{x} - 3\right)^{2}}\right) e^{x}}{\sqrt{1 - \left(e^{x} - 3\right)^{2}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = \log{\left(\frac{8}{3} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \log{\left(\frac{8}{3} \right)}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\log{\left(\frac{8}{3} \right)}, \infty\right)$$