Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ arccos(1-x^2/(1+x^2))

Gráfico de la función y = arccos(1-x^2/(1+x^2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           /       2  \
           |      x   |
f(x) = acos|1 - ------|
           |         2|
           \    1 + x /
f(x)=acos⁡(−x2x2+1+1)f{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(- \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} + 1 \right)} 
f = acos(-x^2/(x^2 + 1) + 1)
Gráfico de la función
0100200300400500600700800900-10010001.501.60
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
acos⁡(−x2x2+1+1)=0\operatorname{acos}{\left(- \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} + 1 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en acos(1 - x^2/(1 + x^2)).
acos⁡(−0202+1+1)\operatorname{acos}{\left(- \frac{0^{2}}{0^{2} + 1} + 1 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2x3(x2+1)2−2xx2+11−(−x2x2+1+1)2=0- \frac{\frac{2 x^{3}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{2 x}{x^{2} + 1}}{\sqrt{1 - \left(- \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} + 1\right)^{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(4x4(x2+1)2−5x2x2+1+2x2(x2x2+1−1)3(1−(−x2x2+1+1)2)(x2+1)+1)1−(−x2x2+1+1)2(x2+1)=0\frac{2 \left(\frac{4 x^{4}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{5 x^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{2 x^{2} \left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right)^{3}}{\left(1 - \left(- \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} + 1\right)^{2}\right) \left(x^{2} + 1\right)} + 1\right)}{\sqrt{1 - \left(- \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} + 1\right)^{2}} \left(x^{2} + 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞acos⁡(−x2x2+1+1)=π2\lim_{x \to -\infty} \operatorname{acos}{\left(- \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} + 1 \right)} = \frac{\pi}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=π2y = \frac{\pi}{2}
lim⁡x→∞acos⁡(−x2x2+1+1)=π2\lim_{x \to \infty} \operatorname{acos}{\left(- \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} + 1 \right)} = \frac{\pi}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=π2y = \frac{\pi}{2}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función acos(1 - x^2/(1 + x^2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(acos⁡(−x2x2+1+1)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(- \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} + 1 \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(acos⁡(−x2x2+1+1)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(- \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} + 1 \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
acos⁡(−x2x2+1+1)=acos⁡(−x2x2+1+1)\operatorname{acos}{\left(- \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} + 1 \right)} = \operatorname{acos}{\left(- \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} + 1 \right)}
- Sí
acos⁡(−x2x2+1+1)=−acos⁡(−x2x2+1+1)\operatorname{acos}{\left(- \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} + 1 \right)} = - \operatorname{acos}{\left(- \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} + 1 \right)}
- No
es decir, función
es
par
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