Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ arccos(1-x^2/(1+x^2))

Gráfico de la función y = arccos(1-x^2/(1+x^2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           /       2  \
           |      x   |
f(x) = acos|1 - ------|
           |         2|
           \    1 + x /
$$f{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(- \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} + 1 \right)}$$ 
f = acos(-x^2/(x^2 + 1) + 1)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\operatorname{acos}{\left(- \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} + 1 \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en acos(1 - x^2/(1 + x^2)).
$$\operatorname{acos}{\left(- \frac{0^{2}}{0^{2} + 1} + 1 \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\frac{2 x^{3}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{2 x}{x^{2} + 1}}{\sqrt{1 - \left(- \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} + 1\right)^{2}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\frac{4 x^{4}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{5 x^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{2 x^{2} \left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right)^{3}}{\left(1 - \left(- \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} + 1\right)^{2}\right) \left(x^{2} + 1\right)} + 1\right)}{\sqrt{1 - \left(- \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} + 1\right)^{2}} \left(x^{2} + 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \operatorname{acos}{\left(- \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} + 1 \right)} = \frac{\pi}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \frac{\pi}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty} \operatorname{acos}{\left(- \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} + 1 \right)} = \frac{\pi}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \frac{\pi}{2}$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función acos(1 - x^2/(1 + x^2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(- \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} + 1 \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(- \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} + 1 \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\operatorname{acos}{\left(- \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} + 1 \right)} = \operatorname{acos}{\left(- \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} + 1 \right)}$$
- Sí
$$\operatorname{acos}{\left(- \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} + 1 \right)} = - \operatorname{acos}{\left(- \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} + 1 \right)}$$
- No
es decir, función
es
par
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