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Trazado el gráfico de la función/ 1/(sqrt(x)-sqrt(x+1))-sqrt(x)

Gráfico de la función y = 1/(sqrt(x)-sqrt(x+1))-sqrt(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
               1             ___
f(x) = ----------------- - \/ x 
         ___     _______        
       \/ x  - \/ x + 1
f(x)=−x+1x−x+1f{\left(x \right)} = - \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{x + 1}} 
f = -sqrt(x) + 1/(sqrt(x) - sqrt(x + 1))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100-10
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−x+1x−x+1=0- \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{x + 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1/(sqrt(x) - sqrt(x + 1)) - sqrt(x).
1−1+0−0\frac{1}{- \sqrt{1} + \sqrt{0}} - \sqrt{0}
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
12x+1−12x(x−x+1)2−12x=0\frac{\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{\left(\sqrt{x} - \sqrt{x + 1}\right)^{2}} - \frac{1}{2 \sqrt{x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−1(x+1)32−1x32(x−x+1)2+2(1x+1−1x)2(x−x+1)3+1x324=0\frac{- \frac{\frac{1}{\left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{\left(\sqrt{x} - \sqrt{x + 1}\right)^{2}} + \frac{2 \left(\frac{1}{\sqrt{x + 1}} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{2}}{\left(\sqrt{x} - \sqrt{x + 1}\right)^{3}} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−x+1x−x+1)=−∞i\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{x + 1}}\right) = - \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(−x+1x−x+1)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{x + 1}}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/(sqrt(x) - sqrt(x + 1)) - sqrt(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−x+1x−x+1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{x + 1}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−x+1x−x+1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{x + 1}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−x+1x−x+1=−−x+1−x−1−x- \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{x + 1}} = - \sqrt{- x} + \frac{1}{\sqrt{- x} - \sqrt{1 - x}}
- No
−x+1x−x+1=−x−1−x−1−x- \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{x + 1}} = \sqrt{- x} - \frac{1}{\sqrt{- x} - \sqrt{1 - x}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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