Sr Examen

Gráfico de la función y = 2ctgx

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
f(x) = 2*cot(x)
f(x)=2cot(x)f{\left(x \right)} = 2 \cot{\left(x \right)}
f = 2*cot(x)
Gráfico de la función
05-20-15-10-5201015-5000050000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2cot(x)=02 \cot{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
Solución numérica
x1=48.6946861306418x_{1} = 48.6946861306418
x2=92.6769832808989x_{2} = 92.6769832808989
x3=86.3937979737193x_{3} = 86.3937979737193
x4=7.85398163397448x_{4} = -7.85398163397448
x5=86.3937979737193x_{5} = -86.3937979737193
x6=1.5707963267949x_{6} = 1.5707963267949
x7=64.4026493985908x_{7} = -64.4026493985908
x8=58.1194640914112x_{8} = -58.1194640914112
x9=83.2522053201295x_{9} = -83.2522053201295
x10=54.9778714378214x_{10} = -54.9778714378214
x11=54.9778714378214x_{11} = 54.9778714378214
x12=89.5353906273091x_{12} = 89.5353906273091
x13=20.4203522483337x_{13} = -20.4203522483337
x14=32.9867228626928x_{14} = 32.9867228626928
x15=17.2787595947439x_{15} = -17.2787595947439
x16=23.5619449019235x_{16} = 23.5619449019235
x17=45.553093477052x_{17} = -45.553093477052
x18=64.4026493985908x_{18} = 64.4026493985908
x19=45.553093477052x_{19} = 45.553093477052
x20=83.2522053201295x_{20} = 83.2522053201295
x21=29.845130209103x_{21} = -29.845130209103
x22=51.8362787842316x_{22} = -51.8362787842316
x23=80.1106126665397x_{23} = 80.1106126665397
x24=39.2699081698724x_{24} = -39.2699081698724
x25=92.6769832808989x_{25} = -92.6769832808989
x26=4.71238898038469x_{26} = 4.71238898038469
x27=70.6858347057703x_{27} = 70.6858347057703
x28=36.1283155162826x_{28} = 36.1283155162826
x29=70.6858347057703x_{29} = -70.6858347057703
x30=48.6946861306418x_{30} = -48.6946861306418
x31=42.4115008234622x_{31} = 42.4115008234622
x32=42.4115008234622x_{32} = -42.4115008234622
x33=67.5442420521806x_{33} = -67.5442420521806
x34=10.9955742875643x_{34} = 10.9955742875643
x35=98.9601685880785x_{35} = 98.9601685880785
x36=23.5619449019235x_{36} = -23.5619449019235
x37=20.4203522483337x_{37} = 20.4203522483337
x38=61.261056745001x_{38} = -61.261056745001
x39=10.9955742875643x_{39} = -10.9955742875643
x40=17.2787595947439x_{40} = 17.2787595947439
x41=95.8185759344887x_{41} = -95.8185759344887
x42=36.1283155162826x_{42} = -36.1283155162826
x43=61.261056745001x_{43} = 61.261056745001
x44=73.8274273593601x_{44} = 73.8274273593601
x45=14.1371669411541x_{45} = 14.1371669411541
x46=26.7035375555132x_{46} = -26.7035375555132
x47=51.8362787842316x_{47} = 51.8362787842316
x48=89.5353906273091x_{48} = -89.5353906273091
x49=39.2699081698724x_{49} = 39.2699081698724
x50=32.9867228626928x_{50} = -32.9867228626928
x51=14.1371669411541x_{51} = -14.1371669411541
x52=4.71238898038469x_{52} = -4.71238898038469
x53=76.9690200129499x_{53} = -76.9690200129499
x54=95.8185759344887x_{54} = 95.8185759344887
x55=76.9690200129499x_{55} = 76.9690200129499
x56=58.1194640914112x_{56} = 58.1194640914112
x57=80.1106126665397x_{57} = -80.1106126665397
x58=73.8274273593601x_{58} = -73.8274273593601
x59=7.85398163397448x_{59} = 7.85398163397448
x60=1.5707963267949x_{60} = -1.5707963267949
x61=29.845130209103x_{61} = 29.845130209103
x62=67.5442420521806x_{62} = 67.5442420521806
x63=26.7035375555132x_{63} = 26.7035375555132
x64=98.9601685880785x_{64} = -98.9601685880785
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2*cot(x).
2cot(0)2 \cot{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2cot2(x)2=0- 2 \cot^{2}{\left(x \right)} - 2 = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4(cot2(x)+1)cot(x)=04 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(,π2]\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right]
Convexa en los intervalos
[π2,)\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=limx(2cot(x))y = \lim_{x \to -\infty}\left(2 \cot{\left(x \right)}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=limx(2cot(x))y = \lim_{x \to \infty}\left(2 \cot{\left(x \right)}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*cot(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlimx(2cot(x)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \cot{\left(x \right)}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlimx(2cot(x)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \cot{\left(x \right)}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2cot(x)=2cot(x)2 \cot{\left(x \right)} = - 2 \cot{\left(x \right)}
- No
2cot(x)=2cot(x)2 \cot{\left(x \right)} = 2 \cot{\left(x \right)}
- Sí
es decir, función
es
impar