Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ x^6*e^x

Gráfico de la función y = x^6*e^x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        6  x
f(x) = x *E
f(x)=exx6f{\left(x \right)} = e^{x} x^{6} 
f = E^x*x^6
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010025000000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
exx6=0e^{x} x^{6} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=−88.6696127131053x_{1} = -88.6696127131053
x2=−58.162685619902x_{2} = -58.162685619902
x3=−122.083752661696x_{3} = -122.083752661696
x4=−92.5729433217803x_{4} = -92.5729433217803
x5=−110.24134484425x_{5} = -110.24134484425
x6=−102.371283845722x_{6} = -102.371283845722
x7=−82.8370640708798x_{7} = -82.8370640708798
x8=−73.1978637909425x_{8} = -73.1978637909425
x9=−63.7200546034686x_{9} = -63.7200546034686
x10=−100.40770624888x_{10} = -100.40770624888
x11=−90.6199460984893x_{11} = -90.6199460984893
x12=−112.21229846825x_{12} = -112.21229846825
x13=−86.7221756752623x_{13} = -86.7221756752623
x14=−118.132099183578x_{14} = -118.132099183578
x15=−84.7778953156122x_{15} = -84.7778953156122
x16=−71.2864585440044x_{16} = -71.2864585440044
x17=−80.9000115859487x_{17} = -80.9000115859487
x18=−77.0387854017141x_{18} = -77.0387854017141
x19=0x_{19} = 0
x20=−56.3423143698061x_{20} = -56.3423143698061
x21=−61.8538036962972x_{21} = -61.8538036962972
x22=−114.184456627505x_{22} = -114.184456627505
x23=−60.0006716761699x_{23} = -60.0006716761699
x24=−69.382040298942x_{24} = -69.382040298942
x25=−108.27167551581x_{25} = -108.27167551581
x26=−120.107453884621x_{26} = -120.107453884621
x27=−96.4861171978203x_{27} = -96.4861171978203
x28=−52.7673199737009x_{28} = -52.7673199737009
x29=−106.303377433517x_{29} = -106.303377433517
x30=−104.336545566176x_{30} = -104.336545566176
x31=−54.5425970346382x_{31} = -54.5425970346382
x32=−67.4854672597338x_{32} = -67.4854672597338
x33=−75.1155185220878x_{33} = -75.1155185220878
x34=−51.0212656989008x_{34} = -51.0212656989008
x35=−98.4459380391843x_{35} = -98.4459380391843
x36=−116.15774602451x_{36} = -116.15774602451
x37=−78.9671108208535x_{37} = -78.9671108208535
x38=−65.5977440883992x_{38} = -65.5977440883992
x39=−94.5283960776019x_{39} = -94.5283960776019
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^6*E^x.
06e00^{6} e^{0}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x6ex+6x5ex=0x^{6} e^{x} + 6 x^{5} e^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−6x_{1} = -6
x2=0x_{2} = 0
Signos de extremos en los puntos:
            -6 
(-6, 46656*e  )

(0, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Puntos máximos de la función:
x1=−6x_{1} = -6
Decrece en los intervalos
(−∞,−6]∪[0,∞)\left(-\infty, -6\right] \cup \left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−6,0]\left[-6, 0\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
x4(x2+12x+30)ex=0x^{4} \left(x^{2} + 12 x + 30\right) e^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−6−6x_{2} = -6 - \sqrt{6}
x3=−6+6x_{3} = -6 + \sqrt{6}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−6−6]∪[−6+6,∞)\left(-\infty, -6 - \sqrt{6}\right] \cup \left[-6 + \sqrt{6}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−6−6,−6+6]\left[-6 - \sqrt{6}, -6 + \sqrt{6}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(exx6)=0\lim_{x \to -\infty}\left(e^{x} x^{6}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(exx6)=∞\lim_{x \to \infty}\left(e^{x} x^{6}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^6*E^x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x5ex)=0\lim_{x \to -\infty}\left(x^{5} e^{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(x5ex)=∞\lim_{x \to \infty}\left(x^{5} e^{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
exx6=x6e−xe^{x} x^{6} = x^{6} e^{- x}
- No
exx6=−x6e−xe^{x} x^{6} = - x^{6} e^{- x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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