Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^4-x^3
-
x*e^x
-
x^2-3*x+1
-
x^3/(x-1)^2
- Límite de la función:
-
cos(x^(-2))
- Integral de d{x}:
- cos(x^(-2))
-
Expresiones idénticas
- cos(x^(- dos))
- coseno de (x en el grado ( menos 2))
- coseno de (x en el grado ( menos dos))
- cos(x(-2))
- cosx-2
- cosx^-2
-
Expresiones semejantes
- cos(x^(2))
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(x)/x
- cos(x)*cos(2x)
- cos(x)+1/2*sin(2x)
- cos(z)
- cos(x)*cos(x)
Gráfico de la función y = cos(x^(-2))
Solución
Ha introducido
[src]
/1 \
f(x) = cos|--|
| 2|
\x /
$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}$$
f = cos(x^(-2))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\cos{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{6}}{3 \sqrt{\pi}}$$
$$x_{4} = \frac{\sqrt{6}}{3 \sqrt{\pi}}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -0.797884560802865$$
$$x_{2} = 0.797884560802865$$
$$x_{3} = -0.460658865961781$$
$$x_{4} = 0.460658865961781$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\cos{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{6}}{3 \sqrt{\pi}}$$
$$x_{4} = \frac{\sqrt{6}}{3 \sqrt{\pi}}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -0.797884560802865$$
$$x_{2} = 0.797884560802865$$
$$x_{3} = -0.460658865961781$$
$$x_{4} = 0.460658865961781$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 \sin{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{\sqrt{\pi}}$$
$$x_{2} = \frac{1}{\sqrt{\pi}}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{1}{\sqrt{\pi}}$$
$$x_{2} = \frac{1}{\sqrt{\pi}}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{1}{\sqrt{\pi}}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{1}{\sqrt{\pi}}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 \sin{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{\sqrt{\pi}}$$
$$x_{2} = \frac{1}{\sqrt{\pi}}$$
Signos de extremos en los puntos:
-1 (------, -1) ____ \/ pi
1 (------, -1) ____ \/ pi
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{1}{\sqrt{\pi}}$$
$$x_{2} = \frac{1}{\sqrt{\pi}}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{1}{\sqrt{\pi}}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{1}{\sqrt{\pi}}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{2 \left(3 \sin{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} + \frac{2 \cos{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x^{2}}\right)}{x^{4}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1938.15681310221$$
$$x_{2} = -2449.2356649489$$
$$x_{3} = 2201.61153371467$$
$$x_{4} = -1887.04897968061$$
$$x_{5} = 1179.45669165789$$
$$x_{6} = -1682.61778310453$$
$$x_{7} = -1631.51002469993$$
$$x_{8} = -1324.86396227265$$
$$x_{9} = 2508.25899298696$$
$$x_{10} = 1077.24186962153$$
$$x_{11} = -1835.94115882203$$
$$x_{12} = 310.658475893365$$
$$x_{13} = 2150.50364858814$$
$$x_{14} = -1120.43395316421$$
$$x_{15} = -1375.9715682491$$
$$x_{16} = -1018.21928550263$$
$$x_{17} = 1792.74872983183$$
$$x_{18} = -251.648410558162$$
$$x_{19} = -302.744889717296$$
$$x_{20} = 770.599475167449$$
$$x_{21} = -711.577804130296$$
$$x_{22} = -558.259934129764$$
$$x_{23} = 1281.6717207505$$
$$x_{24} = -1580.40228576311$$
$$x_{25} = 1026.13455567048$$
$$x_{26} = 1997.18004650873$$
$$x_{27} = -2091.48037951516$$
$$x_{28} = 1894.96436340092$$
$$x_{29} = -864.897930978551$$
$$x_{30} = 1230.56418355806$$
$$x_{31} = 1843.8565399085$$
$$x_{32} = -1478.18687439894$$
$$x_{33} = -404.946960573862$$
$$x_{34} = -353.844869141937$$
$$x_{35} = 463.965055220281$$
$$x_{36} = 1946.0721992509$$
$$x_{37} = -456.050427212966$$
$$x_{38} = 412.861370798491$$
$$x_{39} = -2193.69613785952$$
$$x_{40} = 821.706230505077$$
$$x_{41} = 1128.34925122718$$
$$x_{42} = -1784.83335160853$$
$$x_{43} = -2398.12774645448$$
$$x_{44} = -660.471517852596$$
$$x_{45} = 872.813139291855$$
$$x_{46} = -149.48275062917$$
$$x_{47} = 2406.04314794773$$
$$x_{48} = 1486.10222874503$$
$$x_{49} = -200.558412971761$$
$$x_{50} = 361.758958222012$$
$$x_{51} = -1989.26465811628$$
$$x_{52} = 975.027320066775$$
$$x_{53} = 617.280515495551$$
$$x_{54} = 208.469497571118$$
$$x_{55} = 2354.93523429112$$
$$x_{56} = 2457.15106763598$$
$$x_{57} = 2048.2879043196$$
$$x_{58} = 1383.88691088349$$
$$x_{59} = 157.389967340938$$
$$x_{60} = 2559.36692366126$$
$$x_{61} = 1741.64093435357$$
$$x_{62} = -2295.91192820566$$
$$x_{63} = -1733.72555925016$$
$$x_{64} = 1588.31764962367$$
$$x_{65} = -1273.75639275821$$
$$x_{66} = -813.791050981696$$
$$x_{67} = 923.920175886169$$
$$x_{68} = 1434.99455555819$$
$$x_{69} = -1069.32658450638$$
$$x_{70} = -1222.6488643014$$
$$x_{71} = -2347.01983407048$$
$$x_{72} = 1332.77929800933$$
$$x_{73} = 1537.2099275942$$
$$x_{74} = -2142.5882544003$$
$$x_{75} = -2551.45151879799$$
$$x_{76} = -916.004943474387$$
$$x_{77} = -762.684330429947$$
$$x_{78} = 2099.39577191208$$
$$x_{79} = 1639.42539266166$$
$$x_{80} = -1171.54138230496$$
$$x_{81} = -1529.29456825261$$
$$x_{82} = -507.1548405975$$
$$x_{83} = 668.386567133792$$
$$x_{84} = -2040.37251384976$$
$$x_{85} = -2244.8040293061$$
$$x_{86} = 515.06962318905$$
$$x_{87} = -609.365533031977$$
$$x_{88} = 1690.53315479964$$
$$x_{89} = 566.174830454865$$
$$x_{90} = 259.561141031252$$
$$x_{91} = 2252.71942671607$$
$$x_{92} = -2500.34358917846$$
$$x_{93} = 719.492906293225$$
$$x_{94} = -967.112067280225$$
$$x_{95} = -1427.07920675362$$
$$x_{96} = 2303.82732706785$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{2 \left(3 \sin{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} + \frac{2 \cos{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x^{2}}\right)}{x^{4}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1938.15681310221$$
$$x_{2} = -2449.2356649489$$
$$x_{3} = 2201.61153371467$$
$$x_{4} = -1887.04897968061$$
$$x_{5} = 1179.45669165789$$
$$x_{6} = -1682.61778310453$$
$$x_{7} = -1631.51002469993$$
$$x_{8} = -1324.86396227265$$
$$x_{9} = 2508.25899298696$$
$$x_{10} = 1077.24186962153$$
$$x_{11} = -1835.94115882203$$
$$x_{12} = 310.658475893365$$
$$x_{13} = 2150.50364858814$$
$$x_{14} = -1120.43395316421$$
$$x_{15} = -1375.9715682491$$
$$x_{16} = -1018.21928550263$$
$$x_{17} = 1792.74872983183$$
$$x_{18} = -251.648410558162$$
$$x_{19} = -302.744889717296$$
$$x_{20} = 770.599475167449$$
$$x_{21} = -711.577804130296$$
$$x_{22} = -558.259934129764$$
$$x_{23} = 1281.6717207505$$
$$x_{24} = -1580.40228576311$$
$$x_{25} = 1026.13455567048$$
$$x_{26} = 1997.18004650873$$
$$x_{27} = -2091.48037951516$$
$$x_{28} = 1894.96436340092$$
$$x_{29} = -864.897930978551$$
$$x_{30} = 1230.56418355806$$
$$x_{31} = 1843.8565399085$$
$$x_{32} = -1478.18687439894$$
$$x_{33} = -404.946960573862$$
$$x_{34} = -353.844869141937$$
$$x_{35} = 463.965055220281$$
$$x_{36} = 1946.0721992509$$
$$x_{37} = -456.050427212966$$
$$x_{38} = 412.861370798491$$
$$x_{39} = -2193.69613785952$$
$$x_{40} = 821.706230505077$$
$$x_{41} = 1128.34925122718$$
$$x_{42} = -1784.83335160853$$
$$x_{43} = -2398.12774645448$$
$$x_{44} = -660.471517852596$$
$$x_{45} = 872.813139291855$$
$$x_{46} = -149.48275062917$$
$$x_{47} = 2406.04314794773$$
$$x_{48} = 1486.10222874503$$
$$x_{49} = -200.558412971761$$
$$x_{50} = 361.758958222012$$
$$x_{51} = -1989.26465811628$$
$$x_{52} = 975.027320066775$$
$$x_{53} = 617.280515495551$$
$$x_{54} = 208.469497571118$$
$$x_{55} = 2354.93523429112$$
$$x_{56} = 2457.15106763598$$
$$x_{57} = 2048.2879043196$$
$$x_{58} = 1383.88691088349$$
$$x_{59} = 157.389967340938$$
$$x_{60} = 2559.36692366126$$
$$x_{61} = 1741.64093435357$$
$$x_{62} = -2295.91192820566$$
$$x_{63} = -1733.72555925016$$
$$x_{64} = 1588.31764962367$$
$$x_{65} = -1273.75639275821$$
$$x_{66} = -813.791050981696$$
$$x_{67} = 923.920175886169$$
$$x_{68} = 1434.99455555819$$
$$x_{69} = -1069.32658450638$$
$$x_{70} = -1222.6488643014$$
$$x_{71} = -2347.01983407048$$
$$x_{72} = 1332.77929800933$$
$$x_{73} = 1537.2099275942$$
$$x_{74} = -2142.5882544003$$
$$x_{75} = -2551.45151879799$$
$$x_{76} = -916.004943474387$$
$$x_{77} = -762.684330429947$$
$$x_{78} = 2099.39577191208$$
$$x_{79} = 1639.42539266166$$
$$x_{80} = -1171.54138230496$$
$$x_{81} = -1529.29456825261$$
$$x_{82} = -507.1548405975$$
$$x_{83} = 668.386567133792$$
$$x_{84} = -2040.37251384976$$
$$x_{85} = -2244.8040293061$$
$$x_{86} = 515.06962318905$$
$$x_{87} = -609.365533031977$$
$$x_{88} = 1690.53315479964$$
$$x_{89} = 566.174830454865$$
$$x_{90} = 259.561141031252$$
$$x_{91} = 2252.71942671607$$
$$x_{92} = -2500.34358917846$$
$$x_{93} = 719.492906293225$$
$$x_{94} = -967.112067280225$$
$$x_{95} = -1427.07920675362$$
$$x_{96} = 2303.82732706785$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
True
True
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x^(-2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\cos{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} = \cos{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}$$
- Sí
$$\cos{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} = - \cos{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$\cos{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} = \cos{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}$$
- Sí
$$\cos{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} = - \cos{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}$$
- No
es decir, función
es
par