Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ cos(x^(-2))

Gráfico de la función y = cos(x^(-2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /1 \
f(x) = cos|--|
          | 2|
          \x /
f(x)=cos⁡(1x2)f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} 
f = cos(x^(-2))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(1x2)=0\cos{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2πx_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}}
x2=2πx_{2} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}}
x3=−63πx_{3} = - \frac{\sqrt{6}}{3 \sqrt{\pi}}
x4=63πx_{4} = \frac{\sqrt{6}}{3 \sqrt{\pi}}
Solución numérica
x1=−0.797884560802865x_{1} = -0.797884560802865
x2=0.797884560802865x_{2} = 0.797884560802865
x3=−0.460658865961781x_{3} = -0.460658865961781
x4=0.460658865961781x_{4} = 0.460658865961781
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x^(-2)).
cos⁡(10)\cos{\left(\frac{1}{0} \right)}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2sin⁡(1x2)x3=0\frac{2 \sin{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1πx_{1} = - \frac{1}{\sqrt{\pi}}
x2=1πx_{2} = \frac{1}{\sqrt{\pi}}
Signos de extremos en los puntos:
  -1        
(------, -1)
   ____     
 \/ pi      

   1        
(------, -1)
   ____     
 \/ pi


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−1πx_{1} = - \frac{1}{\sqrt{\pi}}
x2=1πx_{2} = \frac{1}{\sqrt{\pi}}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[1π,∞)\left[\frac{1}{\sqrt{\pi}}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−1π]\left(-\infty, - \frac{1}{\sqrt{\pi}}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2(3sin⁡(1x2)+2cos⁡(1x2)x2)x4=0- \frac{2 \left(3 \sin{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} + \frac{2 \cos{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x^{2}}\right)}{x^{4}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1938.15681310221x_{1} = -1938.15681310221
x2=−2449.2356649489x_{2} = -2449.2356649489
x3=2201.61153371467x_{3} = 2201.61153371467
x4=−1887.04897968061x_{4} = -1887.04897968061
x5=1179.45669165789x_{5} = 1179.45669165789
x6=−1682.61778310453x_{6} = -1682.61778310453
x7=−1631.51002469993x_{7} = -1631.51002469993
x8=−1324.86396227265x_{8} = -1324.86396227265
x9=2508.25899298696x_{9} = 2508.25899298696
x10=1077.24186962153x_{10} = 1077.24186962153
x11=−1835.94115882203x_{11} = -1835.94115882203
x12=310.658475893365x_{12} = 310.658475893365
x13=2150.50364858814x_{13} = 2150.50364858814
x14=−1120.43395316421x_{14} = -1120.43395316421
x15=−1375.9715682491x_{15} = -1375.9715682491
x16=−1018.21928550263x_{16} = -1018.21928550263
x17=1792.74872983183x_{17} = 1792.74872983183
x18=−251.648410558162x_{18} = -251.648410558162
x19=−302.744889717296x_{19} = -302.744889717296
x20=770.599475167449x_{20} = 770.599475167449
x21=−711.577804130296x_{21} = -711.577804130296
x22=−558.259934129764x_{22} = -558.259934129764
x23=1281.6717207505x_{23} = 1281.6717207505
x24=−1580.40228576311x_{24} = -1580.40228576311
x25=1026.13455567048x_{25} = 1026.13455567048
x26=1997.18004650873x_{26} = 1997.18004650873
x27=−2091.48037951516x_{27} = -2091.48037951516
x28=1894.96436340092x_{28} = 1894.96436340092
x29=−864.897930978551x_{29} = -864.897930978551
x30=1230.56418355806x_{30} = 1230.56418355806
x31=1843.8565399085x_{31} = 1843.8565399085
x32=−1478.18687439894x_{32} = -1478.18687439894
x33=−404.946960573862x_{33} = -404.946960573862
x34=−353.844869141937x_{34} = -353.844869141937
x35=463.965055220281x_{35} = 463.965055220281
x36=1946.0721992509x_{36} = 1946.0721992509
x37=−456.050427212966x_{37} = -456.050427212966
x38=412.861370798491x_{38} = 412.861370798491
x39=−2193.69613785952x_{39} = -2193.69613785952
x40=821.706230505077x_{40} = 821.706230505077
x41=1128.34925122718x_{41} = 1128.34925122718
x42=−1784.83335160853x_{42} = -1784.83335160853
x43=−2398.12774645448x_{43} = -2398.12774645448
x44=−660.471517852596x_{44} = -660.471517852596
x45=872.813139291855x_{45} = 872.813139291855
x46=−149.48275062917x_{46} = -149.48275062917
x47=2406.04314794773x_{47} = 2406.04314794773
x48=1486.10222874503x_{48} = 1486.10222874503
x49=−200.558412971761x_{49} = -200.558412971761
x50=361.758958222012x_{50} = 361.758958222012
x51=−1989.26465811628x_{51} = -1989.26465811628
x52=975.027320066775x_{52} = 975.027320066775
x53=617.280515495551x_{53} = 617.280515495551
x54=208.469497571118x_{54} = 208.469497571118
x55=2354.93523429112x_{55} = 2354.93523429112
x56=2457.15106763598x_{56} = 2457.15106763598
x57=2048.2879043196x_{57} = 2048.2879043196
x58=1383.88691088349x_{58} = 1383.88691088349
x59=157.389967340938x_{59} = 157.389967340938
x60=2559.36692366126x_{60} = 2559.36692366126
x61=1741.64093435357x_{61} = 1741.64093435357
x62=−2295.91192820566x_{62} = -2295.91192820566
x63=−1733.72555925016x_{63} = -1733.72555925016
x64=1588.31764962367x_{64} = 1588.31764962367
x65=−1273.75639275821x_{65} = -1273.75639275821
x66=−813.791050981696x_{66} = -813.791050981696
x67=923.920175886169x_{67} = 923.920175886169
x68=1434.99455555819x_{68} = 1434.99455555819
x69=−1069.32658450638x_{69} = -1069.32658450638
x70=−1222.6488643014x_{70} = -1222.6488643014
x71=−2347.01983407048x_{71} = -2347.01983407048
x72=1332.77929800933x_{72} = 1332.77929800933
x73=1537.2099275942x_{73} = 1537.2099275942
x74=−2142.5882544003x_{74} = -2142.5882544003
x75=−2551.45151879799x_{75} = -2551.45151879799
x76=−916.004943474387x_{76} = -916.004943474387
x77=−762.684330429947x_{77} = -762.684330429947
x78=2099.39577191208x_{78} = 2099.39577191208
x79=1639.42539266166x_{79} = 1639.42539266166
x80=−1171.54138230496x_{80} = -1171.54138230496
x81=−1529.29456825261x_{81} = -1529.29456825261
x82=−507.1548405975x_{82} = -507.1548405975
x83=668.386567133792x_{83} = 668.386567133792
x84=−2040.37251384976x_{84} = -2040.37251384976
x85=−2244.8040293061x_{85} = -2244.8040293061
x86=515.06962318905x_{86} = 515.06962318905
x87=−609.365533031977x_{87} = -609.365533031977
x88=1690.53315479964x_{88} = 1690.53315479964
x89=566.174830454865x_{89} = 566.174830454865
x90=259.561141031252x_{90} = 259.561141031252
x91=2252.71942671607x_{91} = 2252.71942671607
x92=−2500.34358917846x_{92} = -2500.34358917846
x93=719.492906293225x_{93} = 719.492906293225
x94=−967.112067280225x_{94} = -967.112067280225
x95=−1427.07920675362x_{95} = -1427.07920675362
x96=2303.82732706785x_{96} = 2303.82732706785
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

True

True

- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞cos⁡(1x2)=1\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞cos⁡(1x2)=1\lim_{x \to \infty} \cos{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x^(-2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(1x2)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡(1x2)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(1x2)=cos⁡(1x2)\cos{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} = \cos{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}
- Sí
cos⁡(1x2)=−cos⁡(1x2)\cos{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} = - \cos{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}
- No
es decir, función
es
par
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