Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cbrt((x+1)^2)-cbrt((x+2)^2)

Gráfico de la función y = cbrt((x+1)^2)-cbrt((x+2)^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          __________      __________
       3 /        2    3 /        2 
f(x) = \/  (x + 1)   - \/  (x + 2)
f(x)=(x+1)23−(x+2)23f{\left(x \right)} = \sqrt[3]{\left(x + 1\right)^{2}} - \sqrt[3]{\left(x + 2\right)^{2}} 
f = ((x + 1)^2)^(1/3) - ((x + 2)^2)^(1/3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x+1)23−(x+2)23=0\sqrt[3]{\left(x + 1\right)^{2}} - \sqrt[3]{\left(x + 2\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−32x_{1} = - \frac{3}{2}
Solución numérica
x1=−1.5x_{1} = -1.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((x + 1)^2)^(1/3) - ((x + 2)^2)^(1/3).
−223+123- \sqrt[3]{2^{2}} + \sqrt[3]{1^{2}}
Resultado:
f(0)=1−223f{\left(0 \right)} = 1 - 2^{\frac{2}{3}}
Punto:
(0, 1 - 2^(2/3))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(2x3+23)∣x+1∣23(x+1)2−(2x3+43)∣x+2∣23(x+2)2=0\frac{\left(\frac{2 x}{3} + \frac{2}{3}\right) \left|{x + 1}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{\left(\frac{2 x}{3} + \frac{4}{3}\right) \left|{x + 2}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x + 2\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−2sign⁡(x+2)(x+2)∣x+2∣3+3∣x+2∣23(x+2)2+2sign⁡(x+1)(x+1)∣x+1∣3−3∣x+1∣23(x+1)2)9=0\frac{2 \left(- \frac{2 \operatorname{sign}{\left(x + 2 \right)}}{\left(x + 2\right) \sqrt[3]{\left|{x + 2}\right|}} + \frac{3 \left|{x + 2}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x + 2\right)^{2}} + \frac{2 \operatorname{sign}{\left(x + 1 \right)}}{\left(x + 1\right) \sqrt[3]{\left|{x + 1}\right|}} - \frac{3 \left|{x + 1}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)}{9} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x+1)23−(x+2)23)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt[3]{\left(x + 1\right)^{2}} - \sqrt[3]{\left(x + 2\right)^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞((x+1)23−(x+2)23)=0\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt[3]{\left(x + 1\right)^{2}} - \sqrt[3]{\left(x + 2\right)^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((x + 1)^2)^(1/3) - ((x + 2)^2)^(1/3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x+1)23−(x+2)23x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt[3]{\left(x + 1\right)^{2}} - \sqrt[3]{\left(x + 2\right)^{2}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((x+1)23−(x+2)23x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt[3]{\left(x + 1\right)^{2}} - \sqrt[3]{\left(x + 2\right)^{2}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x+1)23−(x+2)23=−∣x−2∣23+∣x−1∣23\sqrt[3]{\left(x + 1\right)^{2}} - \sqrt[3]{\left(x + 2\right)^{2}} = - \left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}} + \left|{x - 1}\right|^{\frac{2}{3}}
- No
(x+1)23−(x+2)23=∣x−2∣23−∣x−1∣23\sqrt[3]{\left(x + 1\right)^{2}} - \sqrt[3]{\left(x + 2\right)^{2}} = \left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}} - \left|{x - 1}\right|^{\frac{2}{3}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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