Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ (x^2-4)/(x+5)

Gráfico de la función y = (x^2-4)/(x+5)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2    
       x  - 4
f(x) = ------
       x + 5
f(x)=x2−4x+5f{\left(x \right)} = \frac{x^{2} - 4}{x + 5} 
f = (x^2 - 4)/(x + 5)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2500025000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−5x_{1} = -5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x2−4x+5=0\frac{x^{2} - 4}{x + 5} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2
Solución numérica
x1=−2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2 - 4)/(x + 5).
−4+025\frac{-4 + 0^{2}}{5}
Resultado:
f(0)=−45f{\left(0 \right)} = - \frac{4}{5}
Punto:
(0, -4/5)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2xx+5−x2−4(x+5)2=0\frac{2 x}{x + 5} - \frac{x^{2} - 4}{\left(x + 5\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−5−21x_{1} = -5 - \sqrt{21}
x2=−5+21x_{2} = -5 + \sqrt{21}
Signos de extremos en los puntos:
                      /                  2\  
                 ____ |     /       ____\ |  
        ____  -\/ 21 *\-4 + \-5 - \/ 21 / /  
(-5 - \/ 21, ------------------------------)
                            21               

                     /                  2\ 
                ____ |     /       ____\ | 
        ____  \/ 21 *\-4 + \-5 + \/ 21 / / 
(-5 + \/ 21, ----------------------------)
                           21


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−5+21x_{1} = -5 + \sqrt{21}
Puntos máximos de la función:
x1=−5−21x_{1} = -5 - \sqrt{21}
Decrece en los intervalos
(−∞,−5−21]∪[−5+21,∞)\left(-\infty, -5 - \sqrt{21}\right] \cup \left[-5 + \sqrt{21}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−5−21,−5+21]\left[-5 - \sqrt{21}, -5 + \sqrt{21}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−2xx+5+1+x2−4(x+5)2)x+5=0\frac{2 \left(- \frac{2 x}{x + 5} + 1 + \frac{x^{2} - 4}{\left(x + 5\right)^{2}}\right)}{x + 5} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−5x_{1} = -5
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x2−4x+5)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 4}{x + 5}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x2−4x+5)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 4}{x + 5}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 - 4)/(x + 5), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x2−4x(x+5))=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 4}{x \left(x + 5\right)}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xy = x
lim⁡x→∞(x2−4x(x+5))=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 4}{x \left(x + 5\right)}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x2−4x+5=x2−45−x\frac{x^{2} - 4}{x + 5} = \frac{x^{2} - 4}{5 - x}
- No
x2−4x+5=−x2−45−x\frac{x^{2} - 4}{x + 5} = - \frac{x^{2} - 4}{5 - x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
    © Sr Examen – Калькулятор