Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$2 e^{2 x} - \frac{4 e^{\frac{\left(-1\right) 4 x}{3}}}{3} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 3 \log{\left(\frac{\sqrt[10]{2} \cdot 3^{\frac{9}{10}}}{3} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
/10___ 9/10\ 3/5 2/5
|\/ 2 *3 | 5*2 *3
(3*log|-----------|, -----------)
\ 3 / 6
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 3 \log{\left(\frac{\sqrt[10]{2} \cdot 3^{\frac{9}{10}}}{3} \right)}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[3 \log{\left(\frac{\sqrt[10]{2} \cdot 3^{\frac{9}{10}}}{3} \right)}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 3 \log{\left(\frac{\sqrt[10]{2} \cdot 3^{\frac{9}{10}}}{3} \right)}\right]$$