Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ ln(x-2)/((x-2)^2)

Gráfico de la función y = ln(x-2)/((x-2)^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       log(x - 2)
f(x) = ----------
               2 
        (x - 2)
f(x)=log⁡(x−2)(x−2)2f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{\left(x - 2\right)^{2}} 
f = log(x - 2)/(x - 2)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-10001000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=2x_{1} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(x−2)(x−2)2=0\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{\left(x - 2\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=3x_{1} = 3
Solución numérica
x1=3x_{1} = 3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x - 2)/(x - 2)^2.
log⁡(−2)(−2)2\frac{\log{\left(-2 \right)}}{\left(-2\right)^{2}}
Resultado:
f(0)=log⁡(2)4+iπ4f{\left(0 \right)} = \frac{\log{\left(2 \right)}}{4} + \frac{i \pi}{4}
Punto:
(0, log(2)/4 + pi*i/4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(4−2x)log⁡(x−2)(x−2)4+1(x−2)(x−2)2=0\frac{\left(4 - 2 x\right) \log{\left(x - 2 \right)}}{\left(x - 2\right)^{4}} + \frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x - 2\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=e12+2x_{1} = e^{\frac{1}{2}} + 2
Signos de extremos en los puntos:
            -1 
      1/2  e   
(2 + e  , ---)
            2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=e12+2x_{1} = e^{\frac{1}{2}} + 2
Decrece en los intervalos
(−∞,e12+2]\left(-\infty, e^{\frac{1}{2}} + 2\right]
Crece en los intervalos
[e12+2,∞)\left[e^{\frac{1}{2}} + 2, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
6log⁡(x−2)−5(x−2)4=0\frac{6 \log{\left(x - 2 \right)} - 5}{\left(x - 2\right)^{4}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2+e56x_{1} = 2 + e^{\frac{5}{6}}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=2x_{1} = 2

lim⁡x→2−(6log⁡(x−2)−5(x−2)4)=−∞\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{6 \log{\left(x - 2 \right)} - 5}{\left(x - 2\right)^{4}}\right) = -\infty
lim⁡x→2+(6log⁡(x−2)−5(x−2)4)=−∞\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{6 \log{\left(x - 2 \right)} - 5}{\left(x - 2\right)^{4}}\right) = -\infty
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[2+e56,∞)\left[2 + e^{\frac{5}{6}}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,2+e56]\left(-\infty, 2 + e^{\frac{5}{6}}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=2x_{1} = 2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x−2)(x−2)2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{\left(x - 2\right)^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(log⁡(x−2)(x−2)2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{\left(x - 2\right)^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x - 2)/(x - 2)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x−2)x(x−2)2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{x \left(x - 2\right)^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(x−2)x(x−2)2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{x \left(x - 2\right)^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(x−2)(x−2)2=log⁡(−x−2)(−x−2)2\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{\left(x - 2\right)^{2}} = \frac{\log{\left(- x - 2 \right)}}{\left(- x - 2\right)^{2}}
- No
log⁡(x−2)(x−2)2=−log⁡(−x−2)(−x−2)2\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{\left(x - 2\right)^{2}} = - \frac{\log{\left(- x - 2 \right)}}{\left(- x - 2\right)^{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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