Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{- \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)} + \frac{2 \pi \left(2 \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)} - \frac{\pi \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x} + \frac{\pi \cos^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x}\right) \log{\left(x \right)}}{x} - \frac{4 \pi \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 5525.31480812232$$
$$x_{2} = 8617.32562919682$$
$$x_{3} = 10408.9479815017$$
$$x_{4} = 10919.5401152508$$
$$x_{5} = 6817.33300796287$$
$$x_{6} = 5784.1915233558$$
$$x_{7} = 12193.8070520423$$
$$x_{8} = 11174.6396326355$$
$$x_{9} = 11939.1934119161$$
$$x_{10} = 6042.82446196221$$
$$x_{11} = 6301.22076915948$$
$$x_{12} = 9642.01960701219$$
$$x_{13} = 8873.74078945848$$
$$x_{14} = 11684.4630193234$$
$$x_{15} = 5006.80446675974$$
$$x_{16} = 9386.08281061731$$
$$x_{17} = 6559.38781580674$$
$$x_{18} = 7589.90971481708$$
$$x_{19} = 5266.18768427361$$
$$x_{20} = 7332.58692266382$$
$$x_{21} = 10664.3107820446$$
$$x_{22} = 10153.4478892844$$
$$x_{23} = 7847.03871133921$$
$$x_{24} = 4747.16107405724$$
$$x_{25} = 9897.80649808317$$
$$x_{26} = 3.90828663527927$$
$$x_{27} = 8360.74067063199$$
$$x_{28} = 13211.150734372$$
$$x_{29} = 8103.98031866077$$
$$x_{30} = 12702.6956409978$$
$$x_{31} = 9129.99148760471$$
$$x_{32} = 12448.3068618287$$
$$x_{33} = 12956.9760736078$$
$$x_{34} = 4487.25603049829$$
$$x_{35} = 11429.6128225485$$
$$x_{36} = 7075.06366177143$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)} + \frac{2 \pi \left(2 \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)} - \frac{\pi \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x} + \frac{\pi \cos^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x}\right) \log{\left(x \right)}}{x} - \frac{4 \pi \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x}}{x^{2}}\right) = - \infty \left(\left\langle -1, 0\right\rangle \pi + \left\langle 0, 1\right\rangle \pi\right)$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)} + \frac{2 \pi \left(2 \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)} - \frac{\pi \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x} + \frac{\pi \cos^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x}\right) \log{\left(x \right)}}{x} - \frac{4 \pi \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x}}{x^{2}}\right) = - \infty \left(\left\langle -1, 0\right\rangle \pi + \left\langle 0, 1\right\rangle \pi\right)$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[3.90828663527927, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 3.90828663527927\right]$$