Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ ln(x)*sin^2(pi/x)

Gráfico de la función y = ln(x)*sin^2(pi/x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                 2/pi\
f(x) = log(x)*sin |--|
                  \x /
f(x)=log⁡(x)sin⁡2(πx)f{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)} 
f = log(x)*sin(pi/x)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102.5-2.5
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(x)sin⁡2(πx)=0\log{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
Solución numérica
x1=0.166666668031717x_{1} = 0.166666668031717
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x)*sin(pi/x)^2.
log⁡(0)sin⁡2(π0)\log{\left(0 \right)} \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{0} \right)}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
sin⁡2(πx)x−2πlog⁡(x)sin⁡(πx)cos⁡(πx)x2=0\frac{\sin^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x} - \frac{2 \pi \log{\left(x \right)} \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2.70250042717629x_{1} = 2.70250042717629
x2=56003.5305668506x_{2} = 56003.5305668506
x3=54937.4889770141x_{3} = 54937.4889770141
Signos de extremos en los puntos:
                                          2                       
(2.7025004271762914, 0.994177428598297*sin (0.370027693592208*pi))

                                        2                         
(56003.53056685064, 10.9331700135666*sin (1.78560171096055e-5*pi))

                                        2                      
(54937.48897701406, 10.9139512537816*sin (1.82025064964e-5*pi))


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x3=2.70250042717629x_{3} = 2.70250042717629
Decrece en los intervalos
(−∞,2.70250042717629]\left(-\infty, 2.70250042717629\right]
Crece en los intervalos
[2.70250042717629,∞)\left[2.70250042717629, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−sin⁡2(πx)+2π(2sin⁡(πx)cos⁡(πx)−πsin⁡2(πx)x+πcos⁡2(πx)x)log⁡(x)x−4πsin⁡(πx)cos⁡(πx)xx2=0\frac{- \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)} + \frac{2 \pi \left(2 \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)} - \frac{\pi \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x} + \frac{\pi \cos^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x}\right) \log{\left(x \right)}}{x} - \frac{4 \pi \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x}}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=5525.31480812232x_{1} = 5525.31480812232
x2=8617.32562919682x_{2} = 8617.32562919682
x3=10408.9479815017x_{3} = 10408.9479815017
x4=10919.5401152508x_{4} = 10919.5401152508
x5=6817.33300796287x_{5} = 6817.33300796287
x6=5784.1915233558x_{6} = 5784.1915233558
x7=12193.8070520423x_{7} = 12193.8070520423
x8=11174.6396326355x_{8} = 11174.6396326355
x9=11939.1934119161x_{9} = 11939.1934119161
x10=6042.82446196221x_{10} = 6042.82446196221
x11=6301.22076915948x_{11} = 6301.22076915948
x12=9642.01960701219x_{12} = 9642.01960701219
x13=8873.74078945848x_{13} = 8873.74078945848
x14=11684.4630193234x_{14} = 11684.4630193234
x15=5006.80446675974x_{15} = 5006.80446675974
x16=9386.08281061731x_{16} = 9386.08281061731
x17=6559.38781580674x_{17} = 6559.38781580674
x18=7589.90971481708x_{18} = 7589.90971481708
x19=5266.18768427361x_{19} = 5266.18768427361
x20=7332.58692266382x_{20} = 7332.58692266382
x21=10664.3107820446x_{21} = 10664.3107820446
x22=10153.4478892844x_{22} = 10153.4478892844
x23=7847.03871133921x_{23} = 7847.03871133921
x24=4747.16107405724x_{24} = 4747.16107405724
x25=9897.80649808317x_{25} = 9897.80649808317
x26=3.90828663527927x_{26} = 3.90828663527927
x27=8360.74067063199x_{27} = 8360.74067063199
x28=13211.150734372x_{28} = 13211.150734372
x29=8103.98031866077x_{29} = 8103.98031866077
x30=12702.6956409978x_{30} = 12702.6956409978
x31=9129.99148760471x_{31} = 9129.99148760471
x32=12448.3068618287x_{32} = 12448.3068618287
x33=12956.9760736078x_{33} = 12956.9760736078
x34=4487.25603049829x_{34} = 4487.25603049829
x35=11429.6128225485x_{35} = 11429.6128225485
x36=7075.06366177143x_{36} = 7075.06366177143
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(−sin⁡2(πx)+2π(2sin⁡(πx)cos⁡(πx)−πsin⁡2(πx)x+πcos⁡2(πx)x)log⁡(x)x−4πsin⁡(πx)cos⁡(πx)xx2)=−∞(⟨−1,0⟩π+⟨0,1⟩π)\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)} + \frac{2 \pi \left(2 \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)} - \frac{\pi \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x} + \frac{\pi \cos^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x}\right) \log{\left(x \right)}}{x} - \frac{4 \pi \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x}}{x^{2}}\right) = - \infty \left(\left\langle -1, 0\right\rangle \pi + \left\langle 0, 1\right\rangle \pi\right)
lim⁡x→0+(−sin⁡2(πx)+2π(2sin⁡(πx)cos⁡(πx)−πsin⁡2(πx)x+πcos⁡2(πx)x)log⁡(x)x−4πsin⁡(πx)cos⁡(πx)xx2)=−∞(⟨−1,0⟩π+⟨0,1⟩π)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)} + \frac{2 \pi \left(2 \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)} - \frac{\pi \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x} + \frac{\pi \cos^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x}\right) \log{\left(x \right)}}{x} - \frac{4 \pi \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x}}{x^{2}}\right) = - \infty \left(\left\langle -1, 0\right\rangle \pi + \left\langle 0, 1\right\rangle \pi\right)
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[3.90828663527927,∞)\left[3.90828663527927, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,3.90828663527927]\left(-\infty, 3.90828663527927\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x)sin⁡2(πx))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\log{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(log⁡(x)sin⁡2(πx))=0\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x)*sin(pi/x)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x)sin⁡2(πx)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(x)sin⁡2(πx)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(x)sin⁡2(πx)=log⁡(−x)sin⁡2(πx)\log{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)} = \log{\left(- x \right)} \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}
- No
log⁡(x)sin⁡2(πx)=−log⁡(−x)sin⁡2(πx)\log{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)} = - \log{\left(- x \right)} \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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