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Trazado el gráfico de la función/ ln((x^4)-(2x^2)+2)

Gráfico de la función y = ln((x^4)-(2x^2)+2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          / 4      2    \
f(x) = log\x  - 2*x  + 2/
f(x)=log⁡((x4−2x2)+2)f{\left(x \right)} = \log{\left(\left(x^{4} - 2 x^{2}\right) + 2 \right)} 
f = log(x^4 - 2*x^2 + 2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡((x4−2x2)+2)=0\log{\left(\left(x^{4} - 2 x^{2}\right) + 2 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Solución numérica
x1=−0.999999751828744x_{1} = -0.999999751828744
x2=−1.00000043444149x_{2} = -1.00000043444149
x3=0.999999966145539x_{3} = 0.999999966145539
x4=−1.00000011894287x_{4} = -1.00000011894287
x5=0.999999930099126x_{5} = 0.999999930099126
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x^4 - 2*x^2 + 2).
log⁡((04−2⋅02)+2)\log{\left(\left(0^{4} - 2 \cdot 0^{2}\right) + 2 \right)}
Resultado:
f(0)=log⁡(2)f{\left(0 \right)} = \log{\left(2 \right)}
Punto:
(0, log(2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
4x3−4x(x4−2x2)+2=0\frac{4 x^{3} - 4 x}{\left(x^{4} - 2 x^{2}\right) + 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1
x2=0x_{2} = 0
x3=1x_{3} = 1
Signos de extremos en los puntos:
(-1, 0)

(0, log(2))

(1, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Puntos máximos de la función:
x2=0x_{2} = 0
Decrece en los intervalos
[−1,0]∪[1,∞)\left[-1, 0\right] \cup \left[1, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−1]∪[0,1]\left(-\infty, -1\right] \cup \left[0, 1\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞log⁡((x4−2x2)+2)=∞\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\left(x^{4} - 2 x^{2}\right) + 2 \right)} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞log⁡((x4−2x2)+2)=∞\lim_{x \to \infty} \log{\left(\left(x^{4} - 2 x^{2}\right) + 2 \right)} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x^4 - 2*x^2 + 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡((x4−2x2)+2)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\left(x^{4} - 2 x^{2}\right) + 2 \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡((x4−2x2)+2)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\left(x^{4} - 2 x^{2}\right) + 2 \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡((x4−2x2)+2)=log⁡((x4−2x2)+2)\log{\left(\left(x^{4} - 2 x^{2}\right) + 2 \right)} = \log{\left(\left(x^{4} - 2 x^{2}\right) + 2 \right)}
- Sí
log⁡((x4−2x2)+2)=−log⁡((x4−2x2)+2)\log{\left(\left(x^{4} - 2 x^{2}\right) + 2 \right)} = - \log{\left(\left(x^{4} - 2 x^{2}\right) + 2 \right)}
- No
es decir, función
es
par
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