Gráfico de la función y = y=x*arcctg(x)—2arctg(x)

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f(x) = x*acot(x) - 2*atan(x)

$$f{\left(x \right)} = x \operatorname{acot}{\left(x \right)} - 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}$$

f = x*acot(x) - 2*atan(x)

Gráfico de la función

Puntos de cruce con el eje de coordenadas X

El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x \operatorname{acot}{\left(x \right)} - 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
$$x_{1} = 0$$

Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y

El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x*acot(x) - 2*atan(x).
$$0 \operatorname{acot}{\left(0 \right)} - 2 \operatorname{atan}{\left(0 \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:

(0, 0)

Extremos de la función

Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{x}{x^{2} + 1} + \operatorname{acot}{\left(x \right)} - \frac{2}{x^{2} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos

Puntos de flexiones

Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{2 x}{x^{2} + 1} - 1\right)}{x^{2} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{1}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{2}\right]$$

Asíntotas horizontales

Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \operatorname{acot}{\left(x \right)} - 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right) = 1 + \pi$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1 + \pi$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \operatorname{acot}{\left(x \right)} - 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right) = 1 - \pi$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1 - \pi$$

Asíntotas inclinadas

Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x*acot(x) - 2*atan(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \operatorname{acot}{\left(x \right)} - 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \operatorname{acot}{\left(x \right)} - 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda

Paridad e imparidad de la función

Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$x \operatorname{acot}{\left(x \right)} - 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)} = x \operatorname{acot}{\left(x \right)} + 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}$$
- No
$$x \operatorname{acot}{\left(x \right)} - 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)} = - x \operatorname{acot}{\left(x \right)} - 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar

Gráfico

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones con funciones

Gráfico de la función y = y=x*arcctg(x)—2arctg(x)

Gráfico:

Puntos de intersección:

Definida a trozos:

Solución