Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ x*exp(1/2-x^2)

Gráfico de la función y = x*exp(1/2-x^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          1    2
          - - x 
          2     
f(x) = x*e
f(x)=xe12−x2f{\left(x \right)} = x e^{\frac{1}{2} - x^{2}} 
f = x*exp(1/2 - x^2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
xe12−x2=0x e^{\frac{1}{2} - x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=24.6661073409247x_{1} = 24.6661073409247
x2=−98.0051017674524x_{2} = -98.0051017674524
x3=−14.6873692419514x_{3} = -14.6873692419514
x4=−58.1690638483732x_{4} = -58.1690638483732
x5=18.7999073667175x_{5} = 18.7999073667175
x6=9.41469724573827x_{6} = 9.41469724573827
x7=64.408034863895x_{7} = 64.408034863895
x8=38.5149532926537x_{8} = 38.5149532926537
x9=46.4693271688763x_{9} = 46.4693271688763
x10=−92.1066629479684x_{10} = -92.1066629479684
x11=−48.2041698444887x_{11} = -48.2041698444887
x12=56.4304534331944x_{12} = 56.4304534331944
x13=−64.1532478546075x_{13} = -64.1532478546075
x14=−96.1022227575016x_{14} = -96.1022227575016
x15=−94.1043957123178x_{15} = -94.1043957123178
x16=−60.1634415856681x_{16} = -60.1634415856681
x17=13.0574223701178x_{17} = 13.0574223701178
x18=42.4899960942614x_{18} = 42.4899960942614
x19=−9.16348321175021x_{19} = -9.16348321175021
x20=80.3765739119403x_{20} = 80.3765739119403
x21=26.6348104846935x_{21} = 26.6348104846935
x22=52.4442259550818x_{22} = 52.4442259550818
x23=−78.125783449603x_{23} = -78.125783449603
x24=74.3867866673358x_{24} = 74.3867866673358
x25=−56.1750861644869x_{25} = -56.1750861644869
x26=70.3945619595659x_{26} = 70.3945619595659
x27=54.4370869389189x_{27} = 54.4370869389189
x28=−46.2130128196551x_{28} = -46.2130128196551
x29=−90.1090308486596x_{29} = -90.1090308486596
x30=−12.7968091698462x_{30} = -12.7968091698462
x31=−42.2332088562321x_{31} = -42.2332088562321
x32=−34.2877276681532x_{32} = -34.2877276681532
x33=−68.1442499509512x_{33} = -68.1442499509512
x34=84.3705719720026x_{34} = 84.3705719720026
x35=−22.4425007185933x_{35} = -22.4425007185933
x36=−76.129088844583x_{36} = -76.129088844583
x37=94.3577924641268x_{37} = 94.3577924641268
x38=−16.6040954166054x_{38} = -16.6040954166054
x39=−44.2226547762937x_{39} = -44.2226547762937
x40=−74.132572514098x_{40} = -74.132572514098
x41=92.3601269622633x_{41} = 92.3601269622633
x42=44.4791976169932x_{42} = 44.4791976169932
x43=−24.4061660554474x_{43} = -24.4061660554474
x44=−54.1815527450525x_{44} = -54.1815527450525
x45=−6.0660448195699x_{45} = -6.0660448195699
x46=−72.1362492686553x_{46} = -72.1362492686553
x47=62.4131011494136x_{47} = 62.4131011494136
x48=90.3625649128685x_{48} = 90.3625649128685
x49=−32.3055705254499x_{49} = -32.3055705254499
x50=0x_{50} = 0
x51=−70.1401356046363x_{51} = -70.1401356046363
x52=−10.9467267431996x_{52} = -10.9467267431996
x53=100.254985258461x_{53} = 100.254985258461
x54=−100.005001053706x_{54} = -100.005001053706
x55=66.4032735361933x_{55} = 66.4032735361933
x56=−66.1486129602884x_{56} = -66.1486129602884
x57=−52.1885145543938x_{57} = -52.1885145543938
x58=86.3677793889685x_{58} = 86.3677793889685
x59=−80.122642994584x_{59} = -80.122642994584
x60=78.3798045164051x_{60} = 78.3798045164051
x61=−50.1960306485386x_{61} = -50.1960306485386
x62=14.9488147933141x_{62} = 14.9488147933141
x63=50.4519304520445x_{63} = 50.4519304520445
x64=−7.49944089361232x_{64} = -7.49944089361232
x65=11.204731998154x_{65} = 11.204731998154
x66=48.4602702583442x_{66} = 48.4602702583442
x67=40.5018595731864x_{67} = 40.5018595731864
x68=−38.2576235616253x_{68} = -38.2576235616253
x69=−40.244810563854x_{69} = -40.244810563854
x70=68.3987904608748x_{70} = 68.3987904608748
x71=88.3651131646469x_{71} = 88.3651131646469
x72=−62.1581808370582x_{72} = -62.1581808370582
x73=−18.5386580960287x_{73} = -18.5386580960287
x74=96.3555548022329x_{74} = 96.3555548022329
x75=7.73387960889725x_{75} = 7.73387960889725
x76=30.5844367675871x_{76} = 30.5844367675871
x77=−86.1140964733667x_{77} = -86.1140964733667
x78=22.7028991452193x_{78} = 22.7028991452193
x79=34.5456823438052x_{79} = 34.5456823438052
x80=76.3832042269081x_{80} = 76.3832042269081
x81=32.5638726903793x_{81} = 32.5638726903793
x82=98.2550892569467x_{82} = 98.2550892569467
x83=58.4242736475066x_{83} = 58.4242736475066
x84=6.25999679126562x_{84} = 6.25999679126562
x85=−84.1168098950623x_{85} = -84.1168098950623
x86=−20.4859087535338x_{86} = -20.4859087535338
x87=−88.1115061822663x_{87} = -88.1115061822663
x88=36.5294784207713x_{88} = 36.5294784207713
x89=−30.3257619544685x_{89} = -30.3257619544685
x90=−36.2718473606153x_{90} = -36.2718473606153
x91=28.6078690007847x_{91} = 28.6078690007847
x92=−26.3753139220651x_{92} = -26.3753139220651
x93=−28.3487957849917x_{93} = -28.3487957849917
x94=20.7467570641594x_{94} = 20.7467570641594
x95=16.8656081194959x_{95} = 16.8656081194959
x96=60.4185026243398x_{96} = 60.4185026243398
x97=72.3905669642191x_{97} = 72.3905669642191
x98=82.3735001099732x_{98} = 82.3735001099732
x99=−82.1196554412931x_{99} = -82.1196554412931
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x*exp(1/2 - x^2).
0e12−020 e^{\frac{1}{2} - 0^{2}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2x2e12−x2+e12−x2=0- 2 x^{2} e^{\frac{1}{2} - x^{2}} + e^{\frac{1}{2} - x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−22x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2}
x2=22x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}
Signos de extremos en los puntos:
    ___      ___  
 -\/ 2    -\/ 2   
(-------, -------)
    2        2    

   ___    ___ 
 \/ 2   \/ 2  
(-----, -----)
   2      2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−22x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2}
Puntos máximos de la función:
x1=22x_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}
Decrece en los intervalos
[−22,22]\left[- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−22]∪[22,∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt{2}}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2x(2x2−3)e12−x2=02 x \left(2 x^{2} - 3\right) e^{\frac{1}{2} - x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−62x_{2} = - \frac{\sqrt{6}}{2}
x3=62x_{3} = \frac{\sqrt{6}}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−62,0]∪[62,∞)\left[- \frac{\sqrt{6}}{2}, 0\right] \cup \left[\frac{\sqrt{6}}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−62]∪[0,62]\left(-\infty, - \frac{\sqrt{6}}{2}\right] \cup \left[0, \frac{\sqrt{6}}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(xe12−x2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(x e^{\frac{1}{2} - x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(xe12−x2)=0\lim_{x \to \infty}\left(x e^{\frac{1}{2} - x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x*exp(1/2 - x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞e12−x2=0\lim_{x \to -\infty} e^{\frac{1}{2} - x^{2}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞e12−x2=0\lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{2} - x^{2}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
xe12−x2=−xe12−x2x e^{\frac{1}{2} - x^{2}} = - x e^{\frac{1}{2} - x^{2}}
- No
xe12−x2=xe12−x2x e^{\frac{1}{2} - x^{2}} = x e^{\frac{1}{2} - x^{2}}
- Sí
es decir, función
es
impar
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