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Trazado el gráfico de la función/ log(5*x-2)^(3)/(3+x^2)

Gráfico de la función y = log(5*x-2)^(3)/(3+x^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          3         
       log (5*x - 2)
f(x) = -------------
                2   
           3 + x
$$f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(5 x - 2 \right)}^{3}}{x^{2} + 3}$$ 
f = log(5*x - 2)^3/(x^2 + 3)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\log{\left(5 x - 2 \right)}^{3}}{x^{2} + 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = \frac{3}{5}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.6$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(5*x - 2)^3/(3 + x^2).
$$\frac{\log{\left(-2 + 0 \cdot 5 \right)}^{3}}{0^{2} + 3}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \frac{\left(\log{\left(2 \right)} + i \pi\right)^{3}}{3}$$
Punto:
(0, (pi*i + log(2))^3/3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x \log{\left(5 x - 2 \right)}^{3}}{\left(x^{2} + 3\right)^{2}} + \frac{15 \log{\left(5 x - 2 \right)}^{2}}{\left(5 x - 2\right) \left(x^{2} + 3\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2.73878775368482$$
Signos de extremos en los puntos:
(2.738787753684817, 1.41606792118548)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 2.73878775368482$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 2.73878775368482\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[2.73878775368482, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(5 x - 2 \right)}^{3}}{x^{2} + 3}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(5 x - 2 \right)}^{3}}{x^{2} + 3}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(5*x - 2)^3/(3 + x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(5 x - 2 \right)}^{3}}{x \left(x^{2} + 3\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(5 x - 2 \right)}^{3}}{x \left(x^{2} + 3\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\log{\left(5 x - 2 \right)}^{3}}{x^{2} + 3} = \frac{\log{\left(- 5 x - 2 \right)}^{3}}{x^{2} + 3}$$
- No
$$\frac{\log{\left(5 x - 2 \right)}^{3}}{x^{2} + 3} = - \frac{\log{\left(- 5 x - 2 \right)}^{3}}{x^{2} + 3}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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