Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 3*cos(x/2)-2

Gráfico de la función y = 3*cos(x/2)-2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            /x\    
f(x) = 3*cos|-| - 2
            \2/
f(x)=3cos⁡(x2)−2f{\left(x \right)} = 3 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2 
f = 3*cos(x/2) - 2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-10
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
3cos⁡(x2)−2=03 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2acos⁡(23)+4πx_{1} = - 2 \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)} + 4 \pi
x2=2acos⁡(23)x_{2} = 2 \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}
Solución numérica
x1=−48.5833451163008x_{1} = -48.5833451163008
x2=61.14971573066x_{2} = 61.14971573066
x3=−89.6467316416501x_{3} = -89.6467316416501
x4=−77.0803610272909x_{4} = -77.0803610272909
x5=−39.3812491842134x_{5} = -39.3812491842134
x6=111.415198188097x_{6} = 111.415198188097
x7=−10.8842332732233x_{7} = -10.8842332732233
x8=−14.248507955495x_{8} = -14.248507955495
x9=23.4506038875825x_{9} = 23.4506038875825
x10=77.0803610272909x_{10} = 77.0803610272909
x11=−215.310437785242x_{11} = -215.310437785242
x12=−1.68213734113586x_{12} = -1.68213734113586
x13=−51.9476197985726x_{13} = -51.9476197985726
x14=89.6467316416501x_{14} = 89.6467316416501
x15=−64.5139904129317x_{15} = -64.5139904129317
x16=−227.876808399601x_{16} = -227.876808399601
x17=−136.547939416815x_{17} = -136.547939416815
x18=26.8148785698542x_{18} = 26.8148785698542
x19=39.3812491842134x_{19} = 39.3812491842134
x20=51.9476197985726x_{20} = 51.9476197985726
x21=36.0169745019417x_{21} = 36.0169745019417
x22=−86.2824569593784x_{22} = -86.2824569593784
x23=48.5833451163008x_{23} = 48.5833451163008
x24=1.68213734113586x_{24} = 1.68213734113586
x25=10.8842332732233x_{25} = 10.8842332732233
x26=73.7160863450192x_{26} = 73.7160863450192
x27=98.8488275737375x_{27} = 98.8488275737375
x28=−36.0169745019417x_{28} = -36.0169745019417
x29=14.248507955495x_{29} = 14.248507955495
x30=−26.8148785698542x_{30} = -26.8148785698542
x31=−61.14971573066x_{31} = -61.14971573066
x32=−98.8488275737375x_{32} = -98.8488275737375
x33=64.5139904129317x_{33} = 64.5139904129317
x34=86.2824569593784x_{34} = 86.2824569593784
x35=−73.7160863450192x_{35} = -73.7160863450192
x36=−23.4506038875825x_{36} = -23.4506038875825
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 3*cos(x/2) - 2.
−2+3cos⁡(02)-2 + 3 \cos{\left(\frac{0}{2} \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−3sin⁡(x2)2=0- \frac{3 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=2πx_{2} = 2 \pi
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)

(2*pi, -5)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=2πx_{1} = 2 \pi
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]∪[2π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2 \pi, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,2π]\left[0, 2 \pi\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−3cos⁡(x2)4=0- \frac{3 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=πx_{1} = \pi
x2=3πx_{2} = 3 \pi

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π,3π]\left[\pi, 3 \pi\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,π]∪[3π,∞)\left(-\infty, \pi\right] \cup \left[3 \pi, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(3cos⁡(x2)−2)=⟨−5,1⟩\lim_{x \to -\infty}\left(3 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2\right) = \left\langle -5, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−5,1⟩y = \left\langle -5, 1\right\rangle
lim⁡x→∞(3cos⁡(x2)−2)=⟨−5,1⟩\lim_{x \to \infty}\left(3 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2\right) = \left\langle -5, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−5,1⟩y = \left\langle -5, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 3*cos(x/2) - 2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(3cos⁡(x2)−2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(3cos⁡(x2)−2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
3cos⁡(x2)−2=3cos⁡(x2)−23 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2 = 3 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2
- No
3cos⁡(x2)−2=2−3cos⁡(x2)3 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2 = 2 - 3 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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