Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ lnx^2/(x+1)(x-3)

Gráfico de la función y = lnx^2/(x+1)(x-3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2           
       log (x)        
f(x) = -------*(x - 3)
        x + 1
f(x)=log⁡(x)2x+1(x−3)f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x + 1} \left(x - 3\right) 
f = (log(x)^2/(x + 1))*(x - 3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(x)2x+1(x−3)=0\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x + 1} \left(x - 3\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
x2=3x_{2} = 3
Solución numérica
x1=3x_{1} = 3
x2=1.00000016352078x_{2} = 1.00000016352078
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (log(x)^2/(x + 1))*(x - 3).
(−3)log⁡(0)21\left(-3\right) \frac{\log{\left(0 \right)}^{2}}{1}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(x−3)(−log⁡(x)2(x+1)2+2log⁡(x)x(x+1))+log⁡(x)2x+1=0\left(x - 3\right) \left(- \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x \left(x + 1\right)}\right) + \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2.04173637227504x_{1} = 2.04173637227504
Signos de extremos en los puntos:
(2.041736372275035, -0.160515605416705)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=2.04173637227504x_{1} = 2.04173637227504
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[2.04173637227504,∞)\left[2.04173637227504, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,2.04173637227504]\left(-\infty, 2.04173637227504\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−(x−3)(−log⁡(x)2(x+1)2+2log⁡(x)x(x+1)+log⁡(x)−1x2)−log⁡(x)2x+1+2log⁡(x)x)x+1=0\frac{2 \left(- \left(x - 3\right) \left(- \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x \left(x + 1\right)} + \frac{\log{\left(x \right)} - 1}{x^{2}}\right) - \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x + 1} + \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x}\right)}{x + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=6.22645648164306x_{1} = 6.22645648164306
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−1x_{1} = -1

lim⁡x→−1−(2(−(x−3)(−log⁡(x)2(x+1)2+2log⁡(x)x(x+1)+log⁡(x)−1x2)−log⁡(x)2x+1+2log⁡(x)x)x+1)=−∞\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \left(- \left(x - 3\right) \left(- \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x \left(x + 1\right)} + \frac{\log{\left(x \right)} - 1}{x^{2}}\right) - \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x + 1} + \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x}\right)}{x + 1}\right) = -\infty
lim⁡x→−1+(2(−(x−3)(−log⁡(x)2(x+1)2+2log⁡(x)x(x+1)+log⁡(x)−1x2)−log⁡(x)2x+1+2log⁡(x)x)x+1)=∞\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \left(- \left(x - 3\right) \left(- \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x \left(x + 1\right)} + \frac{\log{\left(x \right)} - 1}{x^{2}}\right) - \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x + 1} + \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x}\right)}{x + 1}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=−1x_{1} = -1
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,6.22645648164306]\left(-\infty, 6.22645648164306\right]
Convexa en los intervalos
[6.22645648164306,∞)\left[6.22645648164306, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x)2x+1(x−3))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x + 1} \left(x - 3\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(log⁡(x)2x+1(x−3))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x + 1} \left(x - 3\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (log(x)^2/(x + 1))*(x - 3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x−3)log⁡(x)2x(x+1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 3\right) \log{\left(x \right)}^{2}}{x \left(x + 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((x−3)log⁡(x)2x(x+1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 3\right) \log{\left(x \right)}^{2}}{x \left(x + 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(x)2x+1(x−3)=(−x−3)log⁡(−x)21−x\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x + 1} \left(x - 3\right) = \frac{\left(- x - 3\right) \log{\left(- x \right)}^{2}}{1 - x}
- No
log⁡(x)2x+1(x−3)=−(−x−3)log⁡(−x)21−x\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x + 1} \left(x - 3\right) = - \frac{\left(- x - 3\right) \log{\left(- x \right)}^{2}}{1 - x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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