Sr Examen

Otras calculadoras

-2cos(2x-(pi/4))-1
Trazado el gráfico de la función/ -2cos(2x-(pi/4))-1

Gráfico de la función y = -2cos(2x-(pi/4))-1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
              /      pi\    
f(x) = - 2*cos|2*x - --| - 1
              \      4 /
f(x)=−2cos⁡(2x−π4)−1f{\left(x \right)} = - 2 \cos{\left(2 x - \frac{\pi}{4} \right)} - 1 
f = -2*cos(2*x - pi/4) - 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−2cos⁡(2x−π4)−1=0- 2 \cos{\left(2 x - \frac{\pi}{4} \right)} - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−5π24x_{1} = - \frac{5 \pi}{24}
x2=11π24x_{2} = \frac{11 \pi}{24}
Solución numérica
x1=18.1950574520409x_{1} = 18.1950574520409
x2=17.1478599008443x_{2} = 17.1478599008443
x3=−1.70169602069447x_{3} = -1.70169602069447
x4=14.0062672472545x_{4} = 14.0062672472545
x5=89.4044909334095x_{5} = 89.4044909334095
x6=−44.636795619755x_{6} = -44.636795619755
x7=4.58148928648512x_{7} = 4.58148928648512
x8=−33.1176225565924x_{8} = -33.1176225565924
x9=49.6109839879388x_{9} = 49.6109839879388
x10=−16.3624617374468x_{10} = -16.3624617374468
x11=−3.79609112308767x_{11} = -3.79609112308767
x12=33.9030207199899x_{12} = 33.9030207199899
x13=−39.400807863772x_{13} = -39.400807863772
x14=76.8381203190504x_{14} = 76.8381203190504
x15=−95.9494756283883x_{15} = -95.9494756283883
x16=−105.374253589158x_{16} = -105.374253589158
x17=84.1685031774265x_{17} = 84.1685031774265
x18=93.5932811381959x_{18} = 93.5932811381959
x19=−73.9583270532597x_{19} = -73.9583270532597
x20=92.5460835869993x_{20} = 92.5460835869993
x21=55.8941692951184x_{21} = 55.8941692951184
x22=77.885317870247x_{22} = 77.885317870247
x23=−23.692844595823x_{23} = -23.692844595823
x24=−198.574835645655x_{24} = -198.574835645655
x25=2.48709418409192x_{25} = 2.48709418409192
x26=−82.3359074628325x_{26} = -82.3359074628325
x27=−11.1264739814639x_{27} = -11.1264739814639
x28=7.72308194007491x_{28} = 7.72308194007491
x29=73.6965276654606x_{29} = 73.6965276654606
x30=−66.6279441948835x_{30} = -66.6279441948835
x31=20.2894525544341x_{31} = 20.2894525544341
x32=−51.9671784781312x_{32} = -51.9671784781312
x33=−0.654498469497874x_{33} = -0.654498469497874
x34=−83.3831050140291x_{34} = -83.3831050140291
x35=−76.0527221556529x_{35} = -76.0527221556529
x36=−45.6839931709516x_{36} = -45.6839931709516
x37=−98.0438707307815x_{37} = -98.0438707307815
x38=54.8469717439218x_{38} = 54.8469717439218
x39=35.997415822383x_{39} = 35.997415822383
x40=−69.7695368484733x_{40} = -69.7695368484733
x41=46.469391334349x_{41} = 46.469391334349
x42=10.8646745936647x_{42} = 10.8646745936647
x43=−10.0792764302673x_{43} = -10.0792764302673
x44=51.705379090332x_{44} = 51.705379090332
x45=−25.7872396982162x_{45} = -25.7872396982162
x46=86.2628982798197x_{46} = 86.2628982798197
x47=43.3277986807592x_{47} = 43.3277986807592
x48=−80.2415123604393x_{48} = -80.2415123604393
x49=−91.7606854236019x_{49} = -91.7606854236019
x50=26.5726378616137x_{50} = 26.5726378616137
x51=−14.2680666350536x_{51} = -14.2680666350536
x52=11.9118721448613x_{52} = 11.9118721448613
x53=71.6021325630674x_{53} = 71.6021325630674
x54=−19.5040543910366x_{54} = -19.5040543910366
x55=90.4516884846061x_{55} = 90.4516884846061
x56=−38.3536103125754x_{56} = -38.3536103125754
x57=98.8292688941789x_{57} = 98.8292688941789
x58=−60.3447588877039x_{58} = -60.3447588877039
x59=3045.6431779614x_{59} = 3045.6431779614
x60=48.5637864367422x_{60} = 48.5637864367422
x61=−77.0999197068495x_{61} = -77.0999197068495
x62=−32.0704250053958x_{62} = -32.0704250053958
x63=−99.0910682819781x_{63} = -99.0910682819781
x64=−17.4096592886434x_{64} = -17.4096592886434
x65=−29.9760299030026x_{65} = -29.9760299030026
x66=79.9797129726402x_{66} = 79.9797129726402
x67=42.2806011295626x_{67} = 42.2806011295626
x68=27.6198354128103x_{68} = 27.6198354128103
x69=−88.6190927700121x_{69} = -88.6190927700121
x70=−61.3919564389005x_{70} = -61.3919564389005
x71=99.8764664453755x_{71} = 99.8764664453755
x72=−58.2503637853107x_{72} = -58.2503637853107
x73=−7.98488132787406x_{73} = -7.98488132787406
x74=62.177354602298x_{74} = 62.177354602298
x75=−89.6662903212087x_{75} = -89.6662903212087
x76=29.7142305152035x_{76} = 29.7142305152035
x77=−85.4775001164223x_{77} = -85.4775001164223
x78=32.8558231687933x_{78} = 32.8558231687933
x79=−36.2592152101822x_{79} = -36.2592152101822
x80=−67.6751417460801x_{80} = -67.6751417460801
x81=24.4782427592205x_{81} = 24.4782427592205
x82=−55.108771131721x_{82} = -55.108771131721
x83=57.9885643975116x_{83} = 57.9885643975116
x84=40.1862060271694x_{84} = 40.1862060271694
x85=21.3366501056307x_{85} = 21.3366501056307
x86=64.2717497046912x_{86} = 64.2717497046912
x87=68.4605399094776x_{87} = 68.4605399094776
x88=5.62868683768171x_{88} = 5.62868683768171
x89=−22.6456470446264x_{89} = -22.6456470446264
x90=−47.7783882733448x_{90} = -47.7783882733448
x91=−41.4952029661652x_{91} = -41.4952029661652
x92=−54.0615735805244x_{92} = -54.0615735805244
x93=−63.4863515412937x_{93} = -63.4863515412937
x94=70.5549350118708x_{94} = 70.5549350118708
x95=95.6876762405891x_{95} = 95.6876762405891
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -2*cos(2*x - pi/4) - 1.
−2cos⁡(−π4+0⋅2)−1- 2 \cos{\left(- \frac{\pi}{4} + 0 \cdot 2 \right)} - 1
Resultado:
f(0)=−2−1f{\left(0 \right)} = - \sqrt{2} - 1
Punto:
(0, -1 - sqrt(2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
4sin⁡(2x−π4)=04 \sin{\left(2 x - \frac{\pi}{4} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π8x_{1} = \frac{\pi}{8}
x2=5π8x_{2} = \frac{5 \pi}{8}
Signos de extremos en los puntos:
 pi            /pi   pi\ 
(--, -1 - 2*cos|-- - --|)
 8             \4    4 / 

 5*pi            /pi   pi\ 
(----, -1 + 2*cos|-- - --|)
  8              \4    4 /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=π8x_{1} = \frac{\pi}{8}
Puntos máximos de la función:
x1=5π8x_{1} = \frac{5 \pi}{8}
Decrece en los intervalos
[π8,5π8]\left[\frac{\pi}{8}, \frac{5 \pi}{8}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,π8]∪[5π8,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{8}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{8}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
8sin⁡(2x+π4)=08 \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π8x_{1} = - \frac{\pi}{8}
x2=3π8x_{2} = \frac{3 \pi}{8}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−π8,3π8]\left[- \frac{\pi}{8}, \frac{3 \pi}{8}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−π8]∪[3π8,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{8}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{8}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−2cos⁡(2x−π4)−1)=⟨−3,1⟩\lim_{x \to -\infty}\left(- 2 \cos{\left(2 x - \frac{\pi}{4} \right)} - 1\right) = \left\langle -3, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−3,1⟩y = \left\langle -3, 1\right\rangle
lim⁡x→∞(−2cos⁡(2x−π4)−1)=⟨−3,1⟩\lim_{x \to \infty}\left(- 2 \cos{\left(2 x - \frac{\pi}{4} \right)} - 1\right) = \left\langle -3, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−3,1⟩y = \left\langle -3, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -2*cos(2*x - pi/4) - 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−2cos⁡(2x−π4)−1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 2 \cos{\left(2 x - \frac{\pi}{4} \right)} - 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−2cos⁡(2x−π4)−1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 \cos{\left(2 x - \frac{\pi}{4} \right)} - 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−2cos⁡(2x−π4)−1=−2cos⁡(2x+π4)−1- 2 \cos{\left(2 x - \frac{\pi}{4} \right)} - 1 = - 2 \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)} - 1
- No
−2cos⁡(2x−π4)−1=2cos⁡(2x+π4)+1- 2 \cos{\left(2 x - \frac{\pi}{4} \right)} - 1 = 2 \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)} + 1
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = -2cos(2x-(pi/4))-1
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