Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ y=(sqrt(2x*x-5*x-3)/(x-2+|2-x|))

Gráfico de la función y = y=(sqrt(2x*x-5*x-3)/(x-2+|2-x|))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         _________________
       \/ 2*x*x - 5*x - 3 
f(x) = -------------------
         x - 2 + |2 - x|
f(x)=(x2x−5x)−3(x−2)+∣2−x∣f{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{\left(x 2 x - 5 x\right) - 3}}{\left(x - 2\right) + \left|{2 - x}\right|} 
f = sqrt(x*(2*x) - 5*x - 3)/(x - 2 + |2 - x|)
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x2x−5x)−3(x−2)+∣2−x∣=0\frac{\sqrt{\left(x 2 x - 5 x\right) - 3}}{\left(x - 2\right) + \left|{2 - x}\right|} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=3x_{1} = 3
Solución numérica
x1=3x_{1} = 3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt((2*x)*x - 5*x - 3)/(x - 2 + |2 - x|).
−3+(0⋅0⋅2−0)−2+∣2−0∣\frac{\sqrt{-3 + \left(0 \cdot 0 \cdot 2 - 0\right)}}{-2 + \left|{2 - 0}\right|}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x−52((x−2)+∣2−x∣)(x2x−5x)−3+(x2x−5x)−3(sign⁡(2−x)−1)((x−2)+∣2−x∣)2=0\frac{2 x - \frac{5}{2}}{\left(\left(x - 2\right) + \left|{2 - x}\right|\right) \sqrt{\left(x 2 x - 5 x\right) - 3}} + \frac{\sqrt{\left(x 2 x - 5 x\right) - 3} \left(\operatorname{sign}{\left(2 - x \right)} - 1\right)}{\left(\left(x - 2\right) + \left|{2 - x}\right|\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=5.33333333333333x_{1} = 5.33333333333333
Signos de extremos en los puntos:
(5.333333333333333, 0.782623792124926)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=5.33333333333333x_{1} = 5.33333333333333
Decrece en los intervalos
(−∞,5.33333333333333]\left(-\infty, 5.33333333333333\right]
Crece en los intervalos
[5.33333333333333,∞)\left[5.33333333333333, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
False

Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x2x−5x)−3(x−2)+∣2−x∣)=22\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\left(x 2 x - 5 x\right) - 3}}{\left(x - 2\right) + \left|{2 - x}\right|}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=22y = \frac{\sqrt{2}}{2}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt((2*x)*x - 5*x - 3)/(x - 2 + |2 - x|), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
No se ha logrado calcular el límite a la izquierda
lim⁡x→−∞((x2x−5x)−3x((x−2)+∣2−x∣))\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\left(x 2 x - 5 x\right) - 3}}{x \left(\left(x - 2\right) + \left|{2 - x}\right|\right)}\right)
lim⁡x→∞((x2x−5x)−3x((x−2)+∣2−x∣))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\left(x 2 x - 5 x\right) - 3}}{x \left(\left(x - 2\right) + \left|{2 - x}\right|\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x2x−5x)−3(x−2)+∣2−x∣=2x2+5x−3−x+∣x+2∣−2\frac{\sqrt{\left(x 2 x - 5 x\right) - 3}}{\left(x - 2\right) + \left|{2 - x}\right|} = \frac{\sqrt{2 x^{2} + 5 x - 3}}{- x + \left|{x + 2}\right| - 2}
- No
(x2x−5x)−3(x−2)+∣2−x∣=−2x2+5x−3−x+∣x+2∣−2\frac{\sqrt{\left(x 2 x - 5 x\right) - 3}}{\left(x - 2\right) + \left|{2 - x}\right|} = - \frac{\sqrt{2 x^{2} + 5 x - 3}}{- x + \left|{x + 2}\right| - 2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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