Sr Examen

Gráfico de la función y = y^ln(y)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
        log(y)
f(y) = y      
$$f{\left(y \right)} = y^{\log{\left(y \right)}}$$
f = y^log(y)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje Y con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$y^{\log{\left(y \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje Y
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando y es igual a 0:
sustituimos y = 0 en y^log(y).
$$0^{\log{\left(0 \right)}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \text{NaN}$$
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 y^{\log{\left(y \right)}} \log{\left(y \right)}}{y} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$y_{1} = 1$$
Signos de extremos en los puntos:
(1, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$y_{1} = 1$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[1, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 1\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 y^{\log{\left(y \right)}} \left(2 \log{\left(y \right)}^{2} - \log{\left(y \right)} + 1\right)}{y^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con y->+oo y y->-oo
$$\lim_{y \to -\infty} y^{\log{\left(y \right)}} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{y \to \infty} y^{\log{\left(y \right)}} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función y^log(y), dividida por y con y->+oo y y ->-oo
$$\lim_{y \to -\infty}\left(\frac{y^{\log{\left(y \right)}}}{y}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{y \to \infty}\left(\frac{y^{\log{\left(y \right)}}}{y}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-y) и f = -f(-y).
Pues, comprobamos:
$$y^{\log{\left(y \right)}} = \left(- y\right)^{\log{\left(- y \right)}}$$
- No
$$y^{\log{\left(y \right)}} = - \left(- y\right)^{\log{\left(- y \right)}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = y^ln(y)