Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{2 \sqrt[3]{6} \left(- \frac{2 \operatorname{sign}{\left(x + 1 \right)}}{3 \left(x + 1\right) \sqrt[3]{\left|{x + 1}\right|}} + \frac{\left|{x + 1}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{2 \operatorname{sign}{\left(x + 1 \right)}}{x \sqrt[3]{\left|{x + 1}\right|}} + \frac{2 \left|{x + 1}\right|^{\frac{2}{3}}}{x \left(x + 1\right)} - \frac{9 \left|{x + 1}\right|^{\frac{2}{3}}}{x^{2}}\right)}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{7}}{14}$$
$$x_{2} = - \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{7}}{14}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \sqrt[3]{6} \left(- \frac{2 \operatorname{sign}{\left(x + 1 \right)}}{3 \left(x + 1\right) \sqrt[3]{\left|{x + 1}\right|}} + \frac{\left|{x + 1}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{2 \operatorname{sign}{\left(x + 1 \right)}}{x \sqrt[3]{\left|{x + 1}\right|}} + \frac{2 \left|{x + 1}\right|^{\frac{2}{3}}}{x \left(x + 1\right)} - \frac{9 \left|{x + 1}\right|^{\frac{2}{3}}}{x^{2}}\right)}{x^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \sqrt[3]{6} \left(- \frac{2 \operatorname{sign}{\left(x + 1 \right)}}{3 \left(x + 1\right) \sqrt[3]{\left|{x + 1}\right|}} + \frac{\left|{x + 1}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{2 \operatorname{sign}{\left(x + 1 \right)}}{x \sqrt[3]{\left|{x + 1}\right|}} + \frac{2 \left|{x + 1}\right|^{\frac{2}{3}}}{x \left(x + 1\right)} - \frac{9 \left|{x + 1}\right|^{\frac{2}{3}}}{x^{2}}\right)}{x^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{7}}{14}, - \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{7}}{14}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{7}}{14}\right] \cup \left[- \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{7}}{14}, \infty\right)$$