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Trazado el gráfico de la función/ (-3*cbrt(6*(x+1)^2))/x^2+6*x+17

Gráfico de la función y = (-3*cbrt(6*(x+1)^2))/x^2+6*x+17

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
             ____________           
          3 /          2            
       -3*\/  6*(x + 1)             
f(x) = ------------------ + 6*x + 17
                2                   
               x
f(x)=(6x+(−1)36(x+1)23x2)+17f{\left(x \right)} = \left(6 x + \frac{\left(-1\right) 3 \sqrt[3]{6 \left(x + 1\right)^{2}}}{x^{2}}\right) + 17 
f = 6*x + (-3*6^(1/3)*|x + 1|^(2/3))/x^2 + 17
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-25002500
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (-3*6^(1/3)*|x + 1|^(2/3))/x^2 + 6*x + 17.
((−1)36⋅12302+0⋅6)+17\left(\frac{\left(-1\right) 3 \sqrt[3]{6 \cdot 1^{2}}}{0^{2}} + 0 \cdot 6\right) + 17
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
6−63(4x+4)∣x+1∣232x2(x+1)2+663∣x+1∣23x3=06 - \frac{\sqrt[3]{6} \left(4 x + 4\right) \left|{x + 1}\right|^{\frac{2}{3}}}{2 x^{2} \left(x + 1\right)^{2}} + \frac{6 \sqrt[3]{6} \left|{x + 1}\right|^{\frac{2}{3}}}{x^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
263(−2sign⁡(x+1)3(x+1)∣x+1∣3+∣x+1∣23(x+1)2+2sign⁡(x+1)x∣x+1∣3+2∣x+1∣23x(x+1)−9∣x+1∣23x2)x2=0\frac{2 \sqrt[3]{6} \left(- \frac{2 \operatorname{sign}{\left(x + 1 \right)}}{3 \left(x + 1\right) \sqrt[3]{\left|{x + 1}\right|}} + \frac{\left|{x + 1}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{2 \operatorname{sign}{\left(x + 1 \right)}}{x \sqrt[3]{\left|{x + 1}\right|}} + \frac{2 \left|{x + 1}\right|^{\frac{2}{3}}}{x \left(x + 1\right)} - \frac{9 \left|{x + 1}\right|^{\frac{2}{3}}}{x^{2}}\right)}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−32−3714x_{1} = - \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{7}}{14}
x2=−32+3714x_{2} = - \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{7}}{14}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(263(−2sign⁡(x+1)3(x+1)∣x+1∣3+∣x+1∣23(x+1)2+2sign⁡(x+1)x∣x+1∣3+2∣x+1∣23x(x+1)−9∣x+1∣23x2)x2)=−∞\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \sqrt[3]{6} \left(- \frac{2 \operatorname{sign}{\left(x + 1 \right)}}{3 \left(x + 1\right) \sqrt[3]{\left|{x + 1}\right|}} + \frac{\left|{x + 1}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{2 \operatorname{sign}{\left(x + 1 \right)}}{x \sqrt[3]{\left|{x + 1}\right|}} + \frac{2 \left|{x + 1}\right|^{\frac{2}{3}}}{x \left(x + 1\right)} - \frac{9 \left|{x + 1}\right|^{\frac{2}{3}}}{x^{2}}\right)}{x^{2}}\right) = -\infty
lim⁡x→0+(263(−2sign⁡(x+1)3(x+1)∣x+1∣3+∣x+1∣23(x+1)2+2sign⁡(x+1)x∣x+1∣3+2∣x+1∣23x(x+1)−9∣x+1∣23x2)x2)=−∞\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \sqrt[3]{6} \left(- \frac{2 \operatorname{sign}{\left(x + 1 \right)}}{3 \left(x + 1\right) \sqrt[3]{\left|{x + 1}\right|}} + \frac{\left|{x + 1}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{2 \operatorname{sign}{\left(x + 1 \right)}}{x \sqrt[3]{\left|{x + 1}\right|}} + \frac{2 \left|{x + 1}\right|^{\frac{2}{3}}}{x \left(x + 1\right)} - \frac{9 \left|{x + 1}\right|^{\frac{2}{3}}}{x^{2}}\right)}{x^{2}}\right) = -\infty
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−32−3714,−32+3714]\left[- \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{7}}{14}, - \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{7}}{14}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−32−3714]∪[−32+3714,∞)\left(-\infty, - \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{7}}{14}\right] \cup \left[- \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{7}}{14}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((6x+(−1)36(x+1)23x2)+17)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(6 x + \frac{\left(-1\right) 3 \sqrt[3]{6 \left(x + 1\right)^{2}}}{x^{2}}\right) + 17\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((6x+(−1)36(x+1)23x2)+17)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(6 x + \frac{\left(-1\right) 3 \sqrt[3]{6 \left(x + 1\right)^{2}}}{x^{2}}\right) + 17\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-3*6^(1/3)*|x + 1|^(2/3))/x^2 + 6*x + 17, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((6x+(−1)36(x+1)23x2)+17x)=6\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(6 x + \frac{\left(-1\right) 3 \sqrt[3]{6 \left(x + 1\right)^{2}}}{x^{2}}\right) + 17}{x}\right) = 6
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=6xy = 6 x
lim⁡x→∞((6x+(−1)36(x+1)23x2)+17x)=6\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(6 x + \frac{\left(-1\right) 3 \sqrt[3]{6 \left(x + 1\right)^{2}}}{x^{2}}\right) + 17}{x}\right) = 6
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=6xy = 6 x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(6x+(−1)36(x+1)23x2)+17=−6x+17−363∣x−1∣23x2\left(6 x + \frac{\left(-1\right) 3 \sqrt[3]{6 \left(x + 1\right)^{2}}}{x^{2}}\right) + 17 = - 6 x + 17 - \frac{3 \sqrt[3]{6} \left|{x - 1}\right|^{\frac{2}{3}}}{x^{2}}
- No
(6x+(−1)36(x+1)23x2)+17=6x−17+363∣x−1∣23x2\left(6 x + \frac{\left(-1\right) 3 \sqrt[3]{6 \left(x + 1\right)^{2}}}{x^{2}}\right) + 17 = 6 x - 17 + \frac{3 \sqrt[3]{6} \left|{x - 1}\right|^{\frac{2}{3}}}{x^{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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