Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 1/(sh(x)*(ch(x)-1))

Gráfico de la función y = 1/(sh(x)*(ch(x)-1))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                 1          
f(x) = ---------------------
       sinh(x)*(cosh(x) - 1)
f(x)=1(cosh⁡(x)−1)sinh⁡(x)f{\left(x \right)} = \frac{1}{\left(\cosh{\left(x \right)} - 1\right) \sinh{\left(x \right)}} 
f = 1/((cosh(x) - 1)*sinh(x))
Gráfico de la función
0.02.00.20.40.60.81.01.21.41.61.80100000000000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
1(cosh⁡(x)−1)sinh⁡(x)=0\frac{1}{\left(\cosh{\left(x \right)} - 1\right) \sinh{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1/(sinh(x)*(cosh(x) - 1)).
1(−1+cosh⁡(0))sinh⁡(0)\frac{1}{\left(-1 + \cosh{\left(0 \right)}\right) \sinh{\left(0 \right)}}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1(cosh⁡(x)−1)sinh⁡(x)(−(cosh⁡(x)−1)cosh⁡(x)−sinh⁡2(x))(cosh⁡(x)−1)sinh⁡(x)=0\frac{\frac{1}{\left(\cosh{\left(x \right)} - 1\right) \sinh{\left(x \right)}} \left(- \left(\cosh{\left(x \right)} - 1\right) \cosh{\left(x \right)} - \sinh^{2}{\left(x \right)}\right)}{\left(\cosh{\left(x \right)} - 1\right) \sinh{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
((cosh⁡(x)−1)cosh⁡(x)+sinh⁡2(x))(cosh⁡(x)sinh⁡2(x)+1cosh⁡(x)−1)+((cosh⁡(x)−1)cosh⁡(x)+sinh⁡2(x))cosh⁡(x)sinh⁡2(x)+(cosh⁡(x)−1)cosh⁡(x)+sinh⁡2(x)cosh⁡(x)−1−4cosh⁡(x)+1(cosh⁡(x)−1)2sinh⁡(x)=0\frac{\left(\left(\cosh{\left(x \right)} - 1\right) \cosh{\left(x \right)} + \sinh^{2}{\left(x \right)}\right) \left(\frac{\cosh{\left(x \right)}}{\sinh^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{\cosh{\left(x \right)} - 1}\right) + \frac{\left(\left(\cosh{\left(x \right)} - 1\right) \cosh{\left(x \right)} + \sinh^{2}{\left(x \right)}\right) \cosh{\left(x \right)}}{\sinh^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\left(\cosh{\left(x \right)} - 1\right) \cosh{\left(x \right)} + \sinh^{2}{\left(x \right)}}{\cosh{\left(x \right)} - 1} - 4 \cosh{\left(x \right)} + 1}{\left(\cosh{\left(x \right)} - 1\right)^{2} \sinh{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞1(cosh⁡(x)−1)sinh⁡(x)=0\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\left(\cosh{\left(x \right)} - 1\right) \sinh{\left(x \right)}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞1(cosh⁡(x)−1)sinh⁡(x)=0\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\left(\cosh{\left(x \right)} - 1\right) \sinh{\left(x \right)}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/(sinh(x)*(cosh(x) - 1)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1cosh⁡(x)−11sinh⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{\cosh{\left(x \right)} - 1} \frac{1}{\sinh{\left(x \right)}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(1cosh⁡(x)−11sinh⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{\cosh{\left(x \right)} - 1} \frac{1}{\sinh{\left(x \right)}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
1(cosh⁡(x)−1)sinh⁡(x)=−1(cosh⁡(x)−1)sinh⁡(x)\frac{1}{\left(\cosh{\left(x \right)} - 1\right) \sinh{\left(x \right)}} = - \frac{1}{\left(\cosh{\left(x \right)} - 1\right) \sinh{\left(x \right)}}
- No
1(cosh⁡(x)−1)sinh⁡(x)=1(cosh⁡(x)−1)sinh⁡(x)\frac{1}{\left(\cosh{\left(x \right)} - 1\right) \sinh{\left(x \right)}} = \frac{1}{\left(\cosh{\left(x \right)} - 1\right) \sinh{\left(x \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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