Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 2^x-3^x

Gráfico de la función y = 2^x-3^x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        x    x
f(x) = 2  - 3
f(x)=2x−3xf{\left(x \right)} = 2^{x} - 3^{x} 
f = 2^x - 3^x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-10000050000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2x−3x=02^{x} - 3^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=−118.176760093132x_{1} = -118.176760093132
x2=−62.1767647743438x_{2} = -62.1767647743438
x3=−126.176760093132x_{3} = -126.176760093132
x4=−82.1767600945398x_{4} = -82.1767600945398
x5=−78.1767601002589x_{5} = -78.1767601002589
x6=−98.1767600931342x_{6} = -98.1767600931342
x7=−56.176813416059x_{7} = -56.176813416059
x8=−68.1767605041019x_{8} = -68.1767605041019
x9=−124.176760093132x_{9} = -124.176760093132
x10=−114.176760093132x_{10} = -114.176760093132
x11=−116.176760093132x_{11} = -116.176760093132
x12=−60.1767706258823x_{12} = -60.1767706258823
x13=−86.1767600934101x_{13} = -86.1767600934101
x14=−88.1767600932556x_{14} = -88.1767600932556
x15=−120.176760093132x_{15} = -120.176760093132
x16=−58.1767837919404x_{16} = -58.1767837919404
x17=−128.176760093132x_{17} = -128.176760093132
x18=−108.176760093132x_{18} = -108.176760093132
x19=−52.1770300629687x_{19} = -52.1770300629687
x20=−66.1767610178145x_{20} = -66.1767610178145
x21=−122.176760093132x_{21} = -122.176760093132
x22=−64.1767621736685x_{22} = -64.1767621736685
x23=−100.176760093133x_{23} = -100.176760093133
x24=−54.176880072797x_{24} = -54.176880072797
x25=−76.1767601091674x_{25} = -76.1767601091674
x26=−42.1924204245725x_{26} = -42.1924204245725
x27=−74.1767601292117x_{27} = -74.1767601292117
x28=−102.176760093132x_{28} = -102.176760093132
x29=−92.1767600931564x_{29} = -92.1767600931564
x30=−96.1767600931368x_{30} = -96.1767600931368
x31=−50.1773676042138x_{31} = -50.1773676042138
x32=−46.1798385453002x_{32} = -46.1798385453002
x33=−106.176760093132x_{33} = -106.176760093132
x34=−40.2122659716058x_{34} = -40.2122659716058
x35=−70.1767602757853x_{35} = -70.1767602757853
x36=−72.1767601743113x_{36} = -72.1767601743113
x37=−48.1781273929945x_{37} = -48.1781273929945
x38=−130.176760093132x_{38} = -130.176760093132
x39=−80.1767600962995x_{39} = -80.1767600962995
x40=−104.176760093132x_{40} = -104.176760093132
x41=−94.1767600931429x_{41} = -94.1767600931429
x42=−90.176760093187x_{42} = -90.176760093187
x43=0x_{43} = 0
x44=−84.1767600937577x_{44} = -84.1767600937577
x45=−112.176760093132x_{45} = -112.176760093132
x46=−44.1836969070924x_{46} = -44.1836969070924
x47=−110.176760093132x_{47} = -110.176760093132
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2^x - 3^x.
−30+20- 3^{0} + 2^{0}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2xlog⁡(2)−3xlog⁡(3)=02^{x} \log{\left(2 \right)} - 3^{x} \log{\left(3 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=log⁡(log⁡(3))−log⁡(log⁡(2))−log⁡(3)+log⁡(2)x_{1} = \frac{\log{\left(\log{\left(3 \right)} \right)} - \log{\left(\log{\left(2 \right)} \right)}}{- \log{\left(3 \right)} + \log{\left(2 \right)}}
Signos de extremos en los puntos:
                              -log(log(2)) + log(log(3))    -log(log(2)) + log(log(3)) 
                              --------------------------    -------------------------- 
 -log(log(2)) + log(log(3))        -log(3) + log(2)              -log(3) + log(2)      
(--------------------------, 2                           - 3                          )
      -log(3) + log(2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=log⁡(log⁡(3))−log⁡(log⁡(2))−log⁡(3)+log⁡(2)x_{1} = \frac{\log{\left(\log{\left(3 \right)} \right)} - \log{\left(\log{\left(2 \right)} \right)}}{- \log{\left(3 \right)} + \log{\left(2 \right)}}
Decrece en los intervalos
(−∞,log⁡(log⁡(3))−log⁡(log⁡(2))−log⁡(3)+log⁡(2)]\left(-\infty, \frac{\log{\left(\log{\left(3 \right)} \right)} - \log{\left(\log{\left(2 \right)} \right)}}{- \log{\left(3 \right)} + \log{\left(2 \right)}}\right]
Crece en los intervalos
[log⁡(log⁡(3))−log⁡(log⁡(2))−log⁡(3)+log⁡(2),∞)\left[\frac{\log{\left(\log{\left(3 \right)} \right)} - \log{\left(\log{\left(2 \right)} \right)}}{- \log{\left(3 \right)} + \log{\left(2 \right)}}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2xlog⁡(2)2−3xlog⁡(3)2=02^{x} \log{\left(2 \right)}^{2} - 3^{x} \log{\left(3 \right)}^{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−log⁡(log⁡(21log⁡(3))2log⁡(23))x_{1} = - \log{\left(\log{\left(2^{\frac{1}{\log{\left(3 \right)}}} \right)}^{\frac{2}{\log{\left(\frac{2}{3} \right)}}} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−log⁡(log⁡(21log⁡(3))2log⁡(23))]\left(-\infty, - \log{\left(\log{\left(2^{\frac{1}{\log{\left(3 \right)}}} \right)}^{\frac{2}{\log{\left(\frac{2}{3} \right)}}} \right)}\right]
Convexa en los intervalos
[−log⁡(log⁡(21log⁡(3))2log⁡(23)),∞)\left[- \log{\left(\log{\left(2^{\frac{1}{\log{\left(3 \right)}}} \right)}^{\frac{2}{\log{\left(\frac{2}{3} \right)}}} \right)}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(2x−3x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(2^{x} - 3^{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(2x−3x)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(2^{x} - 3^{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2^x - 3^x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2x−3xx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2^{x} - 3^{x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(2x−3xx)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{x} - 3^{x}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2x−3x=−3−x+2−x2^{x} - 3^{x} = - 3^{- x} + 2^{- x}
- No
2x−3x=3−x−2−x2^{x} - 3^{x} = 3^{- x} - 2^{- x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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