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Trazado el gráfico de la función/ (3sqrt(x^2-2x+1)+abs(x))/(sqrt(x^2-6x+9)-sqrt(x^2-4x+4))

Gráfico de la función y = (3sqrt(x^2-2x+1)+abs(x))/(sqrt(x^2-6x+9)-sqrt(x^2-4x+4))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                  ______________            
                 /  2                       
             3*\/  x  - 2*x + 1  + |x|      
f(x) = -------------------------------------
          ______________      ______________
         /  2                /  2           
       \/  x  - 6*x + 9  - \/  x  - 4*x + 4
f(x)=3(x2−2x)+1+∣x∣(x2−6x)+9−(x2−4x)+4f{\left(x \right)} = \frac{3 \sqrt{\left(x^{2} - 2 x\right) + 1} + \left|{x}\right|}{\sqrt{\left(x^{2} - 6 x\right) + 9} - \sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) + 4}} 
f = (3*sqrt(x^2 - 2*x + 1) + |x|)/(sqrt(x^2 - 6*x + 9) - sqrt(x^2 - 4*x + 4))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-200200
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=2.5x_{1} = 2.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
3(x2−2x)+1+∣x∣(x2−6x)+9−(x2−4x)+4=0\frac{3 \sqrt{\left(x^{2} - 2 x\right) + 1} + \left|{x}\right|}{\sqrt{\left(x^{2} - 6 x\right) + 9} - \sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) + 4}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (3*sqrt(x^2 - 2*x + 1) + |x|)/(sqrt(x^2 - 6*x + 9) - sqrt(x^2 - 4*x + 4)).
∣0∣+3(02−0)+1−(02−0)+4+(02−0)+9\frac{\left|{0}\right| + 3 \sqrt{\left(0^{2} - 0\right) + 1}}{- \sqrt{\left(0^{2} - 0\right) + 4} + \sqrt{\left(0^{2} - 0\right) + 9}}
Resultado:
f(0)=3f{\left(0 \right)} = 3
Punto:
(0, 3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(−x−3(x2−6x)+9+x−2(x2−4x)+4)(3(x2−2x)+1+∣x∣)((x2−6x)+9−(x2−4x)+4)2+3(x−1)(x2−2x)+1+sign⁡(x)(x2−6x)+9−(x2−4x)+4=0\frac{\left(- \frac{x - 3}{\sqrt{\left(x^{2} - 6 x\right) + 9}} + \frac{x - 2}{\sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) + 4}}\right) \left(3 \sqrt{\left(x^{2} - 2 x\right) + 1} + \left|{x}\right|\right)}{\left(\sqrt{\left(x^{2} - 6 x\right) + 9} - \sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) + 4}\right)^{2}} + \frac{\frac{3 \left(x - 1\right)}{\sqrt{\left(x^{2} - 2 x\right) + 1}} + \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\sqrt{\left(x^{2} - 6 x\right) + 9} - \sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) + 4}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Asíntotas verticales
Hay:
x1=2.5x_{1} = 2.5
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(3(x2−2x)+1+∣x∣(x2−6x)+9−(x2−4x)+4)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 \sqrt{\left(x^{2} - 2 x\right) + 1} + \left|{x}\right|}{\sqrt{\left(x^{2} - 6 x\right) + 9} - \sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) + 4}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(3(x2−2x)+1+∣x∣(x2−6x)+9−(x2−4x)+4)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \sqrt{\left(x^{2} - 2 x\right) + 1} + \left|{x}\right|}{\sqrt{\left(x^{2} - 6 x\right) + 9} - \sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) + 4}}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (3*sqrt(x^2 - 2*x + 1) + |x|)/(sqrt(x^2 - 6*x + 9) - sqrt(x^2 - 4*x + 4)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(3(x2−2x)+1+∣x∣x((x2−6x)+9−(x2−4x)+4))=−4\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 \sqrt{\left(x^{2} - 2 x\right) + 1} + \left|{x}\right|}{x \left(\sqrt{\left(x^{2} - 6 x\right) + 9} - \sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) + 4}\right)}\right) = -4
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−4xy = - 4 x
lim⁡x→∞(3(x2−2x)+1+∣x∣x((x2−6x)+9−(x2−4x)+4))=−4\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \sqrt{\left(x^{2} - 2 x\right) + 1} + \left|{x}\right|}{x \left(\sqrt{\left(x^{2} - 6 x\right) + 9} - \sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) + 4}\right)}\right) = -4
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=−4xy = - 4 x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
3(x2−2x)+1+∣x∣(x2−6x)+9−(x2−4x)+4=3x2+2x+1+∣x∣−x2+4x+4+x2+6x+9\frac{3 \sqrt{\left(x^{2} - 2 x\right) + 1} + \left|{x}\right|}{\sqrt{\left(x^{2} - 6 x\right) + 9} - \sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) + 4}} = \frac{3 \sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + \left|{x}\right|}{- \sqrt{x^{2} + 4 x + 4} + \sqrt{x^{2} + 6 x + 9}}
- No
3(x2−2x)+1+∣x∣(x2−6x)+9−(x2−4x)+4=−3x2+2x+1+∣x∣−x2+4x+4+x2+6x+9\frac{3 \sqrt{\left(x^{2} - 2 x\right) + 1} + \left|{x}\right|}{\sqrt{\left(x^{2} - 6 x\right) + 9} - \sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) + 4}} = - \frac{3 \sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + \left|{x}\right|}{- \sqrt{x^{2} + 4 x + 4} + \sqrt{x^{2} + 6 x + 9}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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