Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ abs(x^2-2*abs(x)-3)

Gráfico de la función y = abs(x^2-2*abs(x)-3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       | 2            |
f(x) = |x  - 2*|x| - 3|
f(x)=∣(x2−2∣x∣)−3∣f{\left(x \right)} = \left|{\left(x^{2} - 2 \left|{x}\right|\right) - 3}\right| 
f = Abs(x^2 - 2*|x| - 3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100100
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
∣(x2−2∣x∣)−3∣=0\left|{\left(x^{2} - 2 \left|{x}\right|\right) - 3}\right| = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−3x_{1} = -3
x2=3x_{2} = 3
Solución numérica
x1=−3x_{1} = -3
x2=3x_{2} = 3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en Abs(x^2 - 2*|x| - 3).
∣−3+(02−2∣0∣)∣\left|{-3 + \left(0^{2} - 2 \left|{0}\right|\right)}\right|
Resultado:
f(0)=3f{\left(0 \right)} = 3
Punto:
(0, 3)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(4(x−sign⁡(x))2δ(−x2+2∣x∣+3)+(2δ(x)−1)sign⁡(−x2+2∣x∣+3))=02 \left(4 \left(x - \operatorname{sign}{\left(x \right)}\right)^{2} \delta\left(- x^{2} + 2 \left|{x}\right| + 3\right) + \left(2 \delta\left(x\right) - 1\right) \operatorname{sign}{\left(- x^{2} + 2 \left|{x}\right| + 3 \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞∣(x2−2∣x∣)−3∣=∞\lim_{x \to -\infty} \left|{\left(x^{2} - 2 \left|{x}\right|\right) - 3}\right| = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞∣(x2−2∣x∣)−3∣=∞\lim_{x \to \infty} \left|{\left(x^{2} - 2 \left|{x}\right|\right) - 3}\right| = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función Abs(x^2 - 2*|x| - 3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(∣(x2−2∣x∣)−3∣x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{\left(x^{2} - 2 \left|{x}\right|\right) - 3}\right|}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(∣(x2−2∣x∣)−3∣x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{\left(x^{2} - 2 \left|{x}\right|\right) - 3}\right|}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
∣(x2−2∣x∣)−3∣=∣(x2−2∣x∣)−3∣\left|{\left(x^{2} - 2 \left|{x}\right|\right) - 3}\right| = \left|{\left(x^{2} - 2 \left|{x}\right|\right) - 3}\right|
- Sí
∣(x2−2∣x∣)−3∣=−∣(x2−2∣x∣)−3∣\left|{\left(x^{2} - 2 \left|{x}\right|\right) - 3}\right| = - \left|{\left(x^{2} - 2 \left|{x}\right|\right) - 3}\right|
- No
es decir, función
es
par
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