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coth(x)/tanh(x)
Trazado el gráfico de la función/ coth(x)/tanh(x)

Gráfico de la función y = coth(x)/tanh(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       coth(x)
f(x) = -------
       tanh(x)
f(x)=coth⁡(x)tanh⁡(x)f{\left(x \right)} = \frac{\coth{\left(x \right)}}{\tanh{\left(x \right)}} 
f = coth(x)/tanh(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100500
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
coth⁡(x)tanh⁡(x)=0\frac{\coth{\left(x \right)}}{\tanh{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en coth(x)/tanh(x).
coth⁡(0)tanh⁡(0)\frac{\coth{\left(0 \right)}}{\tanh{\left(0 \right)}}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(tanh⁡2(x)−1)coth⁡(x)tanh⁡2(x)−1sinh⁡2(x)tanh⁡(x)=0\frac{\left(\tanh^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \coth{\left(x \right)}}{\tanh^{2}{\left(x \right)}} - \frac{1}{\sinh^{2}{\left(x \right)} \tanh{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2((tanh⁡2(x)−1tanh⁡2(x)−1)(tanh⁡2(x)−1)coth⁡(x)−tanh⁡2(x)−1sinh⁡2(x)tanh⁡(x)+cosh⁡(x)sinh⁡3(x))tanh⁡(x)=0\frac{2 \left(\left(\frac{\tanh^{2}{\left(x \right)} - 1}{\tanh^{2}{\left(x \right)}} - 1\right) \left(\tanh^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \coth{\left(x \right)} - \frac{\tanh^{2}{\left(x \right)} - 1}{\sinh^{2}{\left(x \right)} \tanh{\left(x \right)}} + \frac{\cosh{\left(x \right)}}{\sinh^{3}{\left(x \right)}}\right)}{\tanh{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(coth⁡(x)tanh⁡(x))=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\coth{\left(x \right)}}{\tanh{\left(x \right)}}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞(coth⁡(x)tanh⁡(x))=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\coth{\left(x \right)}}{\tanh{\left(x \right)}}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función coth(x)/tanh(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(coth⁡(x)xtanh⁡(x))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\coth{\left(x \right)}}{x \tanh{\left(x \right)}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(coth⁡(x)xtanh⁡(x))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\coth{\left(x \right)}}{x \tanh{\left(x \right)}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
coth⁡(x)tanh⁡(x)=coth⁡(x)tanh⁡(x)\frac{\coth{\left(x \right)}}{\tanh{\left(x \right)}} = \frac{\coth{\left(x \right)}}{\tanh{\left(x \right)}}
- No
coth⁡(x)tanh⁡(x)=−coth⁡(x)tanh⁡(x)\frac{\coth{\left(x \right)}}{\tanh{\left(x \right)}} = - \frac{\coth{\left(x \right)}}{\tanh{\left(x \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = coth(x)/tanh(x)
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