Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (4*exp(x^2)-1)/exp(x^2)

Gráfico de la función y = (4*exp(x^2)-1)/exp(x^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          / 2\    
          \x /    
       4*e     - 1
f(x) = -----------
           / 2\   
           \x /   
          e
f(x)=4ex2−1ex2f{\left(x \right)} = \frac{4 e^{x^{2}} - 1}{e^{x^{2}}} 
f = (4*exp(x^2) - 1)/exp(x^2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101025
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
4ex2−1ex2=0\frac{4 e^{x^{2}} - 1}{e^{x^{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (4*exp(x^2) - 1)/exp(x^2).
−1+4e02e02\frac{-1 + 4 e^{0^{2}}}{e^{0^{2}}}
Resultado:
f(0)=3f{\left(0 \right)} = 3
Punto:
(0, 3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2x(4ex2−1)e−x2+8xe−x2ex2=0- 2 x \left(4 e^{x^{2}} - 1\right) e^{- x^{2}} + 8 x e^{- x^{2}} e^{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(0, 3)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−8x2+(2x2−1)(4ex2−1)e−x2+4)=02 \left(- 8 x^{2} + \left(2 x^{2} - 1\right) \left(4 e^{x^{2}} - 1\right) e^{- x^{2}} + 4\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−22x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2}
x2=22x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−22,22]\left[- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−22]∪[22,∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt{2}}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(4ex2−1ex2)=4\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 e^{x^{2}} - 1}{e^{x^{2}}}\right) = 4
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=4y = 4
lim⁡x→∞(4ex2−1ex2)=4\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 e^{x^{2}} - 1}{e^{x^{2}}}\right) = 4
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=4y = 4
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (4*exp(x^2) - 1)/exp(x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((4ex2−1)e−x2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(4 e^{x^{2}} - 1\right) e^{- x^{2}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((4ex2−1)e−x2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(4 e^{x^{2}} - 1\right) e^{- x^{2}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
4ex2−1ex2=4ex2−1ex2\frac{4 e^{x^{2}} - 1}{e^{x^{2}}} = \frac{4 e^{x^{2}} - 1}{e^{x^{2}}}
- Sí
4ex2−1ex2=−4ex2−1ex2\frac{4 e^{x^{2}} - 1}{e^{x^{2}}} = - \frac{4 e^{x^{2}} - 1}{e^{x^{2}}}
- No
es decir, función
es
par
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