Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ arctg(1/(x-5))

Gráfico de la función y = arctg(1/(x-5))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           /  1  \
f(x) = atan|-----|
           \x - 5/
f(x)=atan⁡(1x−5)f{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x - 5} \right)} 
f = atan(1/(x - 5))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=5x_{1} = 5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
atan⁡(1x−5)=0\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x - 5} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en atan(1/(x - 5)).
atan⁡(1−5)\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{-5} \right)}
Resultado:
f(0)=−atan⁡(15)f{\left(0 \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{5} \right)}
Punto:
(0, -atan(1/5))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−1(1+1(x−5)2)(x−5)2=0- \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{\left(x - 5\right)^{2}}\right) \left(x - 5\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(1−1(1+1(x−5)2)(x−5)2)(1+1(x−5)2)(x−5)3=0\frac{2 \left(1 - \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{\left(x - 5\right)^{2}}\right) \left(x - 5\right)^{2}}\right)}{\left(1 + \frac{1}{\left(x - 5\right)^{2}}\right) \left(x - 5\right)^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=5x_{1} = 5
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞atan⁡(1x−5)=0\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x - 5} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞atan⁡(1x−5)=0\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x - 5} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan(1/(x - 5)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(atan⁡(1x−5)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x - 5} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(atan⁡(1x−5)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x - 5} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
atan⁡(1x−5)=atan⁡(1−x−5)\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x - 5} \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{- x - 5} \right)}
- No
atan⁡(1x−5)=−atan⁡(1−x−5)\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x - 5} \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{- x - 5} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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