Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ arctg(x/(x-5))

Gráfico de la función y = arctg(x/(x-5))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           /  x  \
f(x) = atan|-----|
           \x - 5/
f(x)=atan⁡(xx−5)f{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x - 5} \right)} 
f = atan(x/(x - 5))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=5x_{1} = 5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
atan⁡(xx−5)=0\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x - 5} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en atan(x/(x - 5)).
atan⁡(0−5)\operatorname{atan}{\left(\frac{0}{-5} \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−x(x−5)2+1x−5x2(x−5)2+1=0\frac{- \frac{x}{\left(x - 5\right)^{2}} + \frac{1}{x - 5}}{\frac{x^{2}}{\left(x - 5\right)^{2}} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(xx−5−1)(−x(xx−5−1)(x−5)(x2(x−5)2+1)+1)(x−5)2(x2(x−5)2+1)=0\frac{2 \left(\frac{x}{x - 5} - 1\right) \left(- \frac{x \left(\frac{x}{x - 5} - 1\right)}{\left(x - 5\right) \left(\frac{x^{2}}{\left(x - 5\right)^{2}} + 1\right)} + 1\right)}{\left(x - 5\right)^{2} \left(\frac{x^{2}}{\left(x - 5\right)^{2}} + 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=52x_{1} = \frac{5}{2}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=5x_{1} = 5

lim⁡x→5−(2(xx−5−1)(−x(xx−5−1)(x−5)(x2(x−5)2+1)+1)(x−5)2(x2(x−5)2+1))=0.08\lim_{x \to 5^-}\left(\frac{2 \left(\frac{x}{x - 5} - 1\right) \left(- \frac{x \left(\frac{x}{x - 5} - 1\right)}{\left(x - 5\right) \left(\frac{x^{2}}{\left(x - 5\right)^{2}} + 1\right)} + 1\right)}{\left(x - 5\right)^{2} \left(\frac{x^{2}}{\left(x - 5\right)^{2}} + 1\right)}\right) = 0.08
lim⁡x→5+(2(xx−5−1)(−x(xx−5−1)(x−5)(x2(x−5)2+1)+1)(x−5)2(x2(x−5)2+1))=0.08\lim_{x \to 5^+}\left(\frac{2 \left(\frac{x}{x - 5} - 1\right) \left(- \frac{x \left(\frac{x}{x - 5} - 1\right)}{\left(x - 5\right) \left(\frac{x^{2}}{\left(x - 5\right)^{2}} + 1\right)} + 1\right)}{\left(x - 5\right)^{2} \left(\frac{x^{2}}{\left(x - 5\right)^{2}} + 1\right)}\right) = 0.08
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[52,∞)\left[\frac{5}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,52]\left(-\infty, \frac{5}{2}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=5x_{1} = 5
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞atan⁡(xx−5)=π4\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x - 5} \right)} = \frac{\pi}{4}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=π4y = \frac{\pi}{4}
lim⁡x→∞atan⁡(xx−5)=π4\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x - 5} \right)} = \frac{\pi}{4}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=π4y = \frac{\pi}{4}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan(x/(x - 5)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(atan⁡(xx−5)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x - 5} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(atan⁡(xx−5)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x - 5} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
atan⁡(xx−5)=−atan⁡(x−x−5)\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x - 5} \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{- x - 5} \right)}
- No
atan⁡(xx−5)=atan⁡(x−x−5)\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x - 5} \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{- x - 5} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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