Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ arctg(tg(x/sqrt(2)))

Gráfico de la función y = arctg(tg(x/sqrt(2)))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           /   /  x  \\
f(x) = atan|tan|-----||
           |   |  ___||
           \   \\/ 2 //
f(x)=atan⁡(tan⁡(x2))f{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(\tan{\left(\frac{x}{\sqrt{2}} \right)} \right)} 
f = atan(tan(x/sqrt(2)))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
atan⁡(tan⁡(x2))=0\operatorname{atan}{\left(\tan{\left(\frac{x}{\sqrt{2}} \right)} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=57.7574781960588x_{1} = 57.7574781960588
x2=−17.7715317526335x_{2} = -17.7715317526335
x3=53.3145952579004x_{3} = 53.3145952579004
x4=−79.9718928868506x_{4} = -79.9718928868506
x5=−84.414775825009x_{5} = -84.414775825009
x6=−88.8576587631673x_{6} = -88.8576587631673
x7=−97.7434246394841x_{7} = -97.7434246394841
x8=−22.2144146907918x_{8} = -22.2144146907918
x9=8.88576587631673x_{9} = 8.88576587631673
x10=−26.6572976289502x_{10} = -26.6572976289502
x11=−39.9859464434253x_{11} = -39.9859464434253
x12=26.6572976289502x_{12} = 26.6572976289502
x13=88.8576587631673x_{13} = 88.8576587631673
x14=0x_{14} = 0
x15=−31.1001805671086x_{15} = -31.1001805671086
x16=39.9859464434253x_{16} = 39.9859464434253
x17=84.414775825009x_{17} = 84.414775825009
x18=−62.2003611342171x_{18} = -62.2003611342171
x19=22.2144146907918x_{19} = 22.2144146907918
x20=−57.7574781960588x_{20} = -57.7574781960588
x21=13.3286488144751x_{21} = 13.3286488144751
x22=66.6432440723755x_{22} = 66.6432440723755
x23=48.871712319742x_{23} = 48.871712319742
x24=−4.44288293815837x_{24} = -4.44288293815837
x25=−53.3145952579004x_{25} = -53.3145952579004
x26=102.186307577642x_{26} = 102.186307577642
x27=93.3005417013257x_{27} = 93.3005417013257
x28=−13.3286488144751x_{28} = -13.3286488144751
x29=35.5430635052669x_{29} = 35.5430635052669
x30=31.1001805671086x_{30} = 31.1001805671086
x31=−48.871712319742x_{31} = -48.871712319742
x32=−44.4288293815837x_{32} = -44.4288293815837
x33=62.2003611342171x_{33} = 62.2003611342171
x34=71.0861270105339x_{34} = 71.0861270105339
x35=75.5290099486922x_{35} = 75.5290099486922
x36=−75.5290099486922x_{36} = -75.5290099486922
x37=−66.6432440723755x_{37} = -66.6432440723755
x38=79.9718928868506x_{38} = 79.9718928868506
x39=17.7715317526335x_{39} = 17.7715317526335
x40=−35.5430635052669x_{40} = -35.5430635052669
x41=4.44288293815837x_{41} = 4.44288293815837
x42=−8.88576587631673x_{42} = -8.88576587631673
x43=97.7434246394841x_{43} = 97.7434246394841
x44=−71.0861270105339x_{44} = -71.0861270105339
x45=−93.3005417013257x_{45} = -93.3005417013257
x46=44.4288293815837x_{46} = 44.4288293815837
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en atan(tan(x/sqrt(2))).
atan⁡(tan⁡(02))\operatorname{atan}{\left(\tan{\left(\frac{0}{\sqrt{2}} \right)} \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
22=0\frac{\sqrt{2}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
0=00 = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞atan⁡(tan⁡(x2))y = \lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(\tan{\left(\frac{x}{\sqrt{2}} \right)} \right)}
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞atan⁡(tan⁡(x2))y = \lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(\tan{\left(\frac{x}{\sqrt{2}} \right)} \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan(tan(x/sqrt(2))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(atan⁡(tan⁡(x2))x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\tan{\left(\frac{x}{\sqrt{2}} \right)} \right)}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(atan⁡(tan⁡(x2))x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\tan{\left(\frac{x}{\sqrt{2}} \right)} \right)}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
atan⁡(tan⁡(x2))=−atan⁡(tan⁡(22x))\operatorname{atan}{\left(\tan{\left(\frac{x}{\sqrt{2}} \right)} \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\tan{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} x \right)} \right)}
- No
atan⁡(tan⁡(x2))=atan⁡(tan⁡(22x))\operatorname{atan}{\left(\tan{\left(\frac{x}{\sqrt{2}} \right)} \right)} = \operatorname{atan}{\left(\tan{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} x \right)} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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