Sr Examen

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tg((1-x^2)/(4-x^2))
Trazado el gráfico de la función/ tg((1-x^2)/(4-x^2))

Gráfico de la función y = tg((1-x^2)/(4-x^2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /     2\
          |1 - x |
f(x) = tan|------|
          |     2|
          \4 - x /
f(x)=tan⁡(1−x24−x2)f{\left(x \right)} = \tan{\left(\frac{1 - x^{2}}{4 - x^{2}} \right)} 
f = tan((1 - x^2)/(4 - x^2))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
tan⁡(1−x24−x2)=0\tan{\left(\frac{1 - x^{2}}{4 - x^{2}} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Solución numérica
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en tan((1 - x^2)/(4 - x^2)).
tan⁡(1−024−02)\tan{\left(\frac{1 - 0^{2}}{4 - 0^{2}} \right)}
Resultado:
f(0)=tan⁡(14)f{\left(0 \right)} = \tan{\left(\frac{1}{4} \right)}
Punto:
(0, tan(1/4))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(2x(1−x2)(4−x2)2−2x4−x2)(tan⁡2(1−x24−x2)+1)=0\left(\frac{2 x \left(1 - x^{2}\right)}{\left(4 - x^{2}\right)^{2}} - \frac{2 x}{4 - x^{2}}\right) \left(\tan^{2}{\left(\frac{1 - x^{2}}{4 - x^{2}} \right)} + 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(0, tan(1/4))


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Crece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞tan⁡(1−x24−x2)=tan⁡(1)\lim_{x \to -\infty} \tan{\left(\frac{1 - x^{2}}{4 - x^{2}} \right)} = \tan{\left(1 \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=tan⁡(1)y = \tan{\left(1 \right)}
lim⁡x→∞tan⁡(1−x24−x2)=tan⁡(1)\lim_{x \to \infty} \tan{\left(\frac{1 - x^{2}}{4 - x^{2}} \right)} = \tan{\left(1 \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=tan⁡(1)y = \tan{\left(1 \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función tan((1 - x^2)/(4 - x^2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(tan⁡(1−x24−x2)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(\frac{1 - x^{2}}{4 - x^{2}} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(tan⁡(1−x24−x2)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(\frac{1 - x^{2}}{4 - x^{2}} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
tan⁡(1−x24−x2)=tan⁡(1−x24−x2)\tan{\left(\frac{1 - x^{2}}{4 - x^{2}} \right)} = \tan{\left(\frac{1 - x^{2}}{4 - x^{2}} \right)}
- Sí
tan⁡(1−x24−x2)=−tan⁡(1−x24−x2)\tan{\left(\frac{1 - x^{2}}{4 - x^{2}} \right)} = - \tan{\left(\frac{1 - x^{2}}{4 - x^{2}} \right)}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = tg((1-x^2)/(4-x^2))
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