Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
cos(x)+sin(x)
-
x*exp(-x)
-
x^4-x^3
-
x*2
-
Expresiones idénticas
- sin(x)-cos(dos *x)
- seno de (x) menos coseno de (2 multiplicar por x)
- seno de (x) menos coseno de (dos multiplicar por x)
- sin(x)-cos(2x)
- sinx-cos2x
-
Expresiones semejantes
- sin(x)+cos(2*x)
- y=2sinx-cos2x
- y=sinx-cos^2x
- 2*sin(x)-cos(2x)
- 2sinx-cos^2x-1/3
- sinx-cos(2*x)
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(x)-x^2
- sin(x)/x^2
- sin(x)/(2+cos(x))
- sin(x)*cos(x)+x
- sin(e^(x/2))
- Coseno cos
- cos(x)+sin(x)
- cos(0.5x)-1
- cos(x)-x^2
- cos(7*x)+cos(3*x)
- cos(x)/9
Gráfico de la función y = sin(x)-cos(2*x)
Solución
Ha introducido
[src]
f(x) = sin(x) - cos(2*x)
$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}$$
f = sin(x) - cos(2*x)
Gráfico de la función
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{15}}{4} - \frac{i}{4} \right)}$$
$$x_{4} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{15}}{4} - \frac{i}{4} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{15} \right)}$$
$$x_{2} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{15} \right)}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{15} \right)}, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[- \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{15} \right)}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{15} \right)}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{15}}{4} - \frac{i}{4} \right)}$$
$$x_{4} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{15}}{4} - \frac{i}{4} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
-pi (----, 0) 2
pi (--, 2) 2
/ ____\ / / ____\\ / / ____\\
| I \/ 15 | | | I \/ 15 || | | I \/ 15 ||
(-I*log|- - - ------|, - cos|2*I*log|- - - ------|| - sin|I*log|- - - ------||)
\ 4 4 / \ \ 4 4 // \ \ 4 4 // / ____\ / / ____\\ / / ____\\
| I \/ 15 | | | I \/ 15 || | | I \/ 15 ||
(-I*log|- - + ------|, - cos|2*I*log|- - + ------|| - sin|I*log|- - + ------||)
\ 4 4 / \ \ 4 4 // \ \ 4 4 // Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{15} \right)}$$
$$x_{2} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{15} \right)}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{15} \right)}, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[- \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{15} \right)}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{15} \right)}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{63 - \sqrt{129}}}{16} - \frac{i \left(1 + \sqrt{129}\right)}{16} \right)}$$
$$x_{2} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{129} + 63}}{16} - \frac{i \left(1 - \sqrt{129}\right)}{16} \right)}$$
$$x_{3} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{129} + 63}}{16} - \frac{i \left(1 - \sqrt{129}\right)}{16} \right)}$$
$$x_{4} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{63 - \sqrt{129}}}{16} - \frac{\sqrt{129} i}{16} - \frac{i}{16} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(-1 + \sqrt{129}\right)}{2 \sqrt{\sqrt{129} + 63}} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \left(- \sqrt{129} - 1\right)}{2 \sqrt{63 - \sqrt{129}}} \right)}\right] \cup \left[\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(-1 + \sqrt{129}\right)}{2 \sqrt{\sqrt{129} + 63}} \right)}, \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(-1 + \sqrt{129}\right)}{2 \sqrt{\sqrt{129} + 63}} \right)}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{63 - \sqrt{129}}}{16} - \frac{i \left(1 + \sqrt{129}\right)}{16} \right)}$$
$$x_{2} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{129} + 63}}{16} - \frac{i \left(1 - \sqrt{129}\right)}{16} \right)}$$
$$x_{3} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{129} + 63}}{16} - \frac{i \left(1 - \sqrt{129}\right)}{16} \right)}$$
$$x_{4} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{63 - \sqrt{129}}}{16} - \frac{\sqrt{129} i}{16} - \frac{i}{16} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(-1 + \sqrt{129}\right)}{2 \sqrt{\sqrt{129} + 63}} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \left(- \sqrt{129} - 1\right)}{2 \sqrt{63 - \sqrt{129}}} \right)}\right] \cup \left[\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(-1 + \sqrt{129}\right)}{2 \sqrt{\sqrt{129} + 63}} \right)}, \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(-1 + \sqrt{129}\right)}{2 \sqrt{\sqrt{129} + 63}} \right)}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)} = - \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}$$
- No
$$\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)} = \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)} = - \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}$$
- No
$$\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)} = \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico