Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 2sinx-cos^2x-1/3

Gráfico de la función y = 2sinx-cos^2x-1/3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                     2      1
f(x) = 2*sin(x) - cos (x) - -
                            3
f(x)=(2sin⁡(x)−cos⁡2(x))−13f{\left(x \right)} = \left(2 \sin{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) - \frac{1}{3} 
f = 2*sin(x) - cos(x)^2 - 1/3
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(2sin⁡(x)−cos⁡2(x))−13=0\left(2 \sin{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) - \frac{1}{3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=2atan⁡(34+214+27+3214)x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{21}}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{7 + 3 \sqrt{21}}}{4} \right)}
x2=2atan⁡(−27+3214+34+214)x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{7 + 3 \sqrt{21}}}{4} + \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{21}}{4} \right)}
Solución numérica
x1=−16.2636481188329x_{1} = -16.2636481188329
x2=−37.1434269921935x_{2} = -37.1434269921935
x3=−41.3963893475513x_{3} = -41.3963893475513
x4=−47.6795746547309x_{4} = -47.6795746547309
x5=−66.5291305762696x_{5} = -66.5291305762696
x6=−79.0955011906288x_{6} = -79.0955011906288
x7=−3.69727750447376x_{7} = -3.69727750447376
x8=−91.661871804988x_{8} = -91.661871804988
x9=−137519.521133389x_{9} = -137519.521133389
x10=0.555684850883971x_{10} = 0.555684850883971
x11=71.7009461816813x_{11} = 71.7009461816813
x12=−137.674391907067x_{12} = -137.674391907067
x13=44.5379820011411x_{13} = 44.5379820011411
x14=−30.860241685014x_{14} = -30.860241685014
x15=2.58590780270582x_{15} = 2.58590780270582
x16=101.086649765757x_{16} = 101.086649765757
x17=77.9841314888609x_{17} = 77.9841314888609
x18=−12.0106857634752x_{18} = -12.0106857634752
x19=90.55050210322x_{19} = 90.55050210322
x20=21.4354637242446x_{20} = 21.4354637242446
x21=50.8211673083207x_{21} = 50.8211673083207
x22=84.2673167960404x_{22} = 84.2673167960404
x23=−55.9929829137323x_{23} = -55.9929829137323
x24=19.4052407724227x_{24} = 19.4052407724227
x25=82.2370938442186x_{25} = 82.2370938442186
x26=75.953908537039x_{26} = 75.953908537039
x27=−72.8123158834492x_{27} = -72.8123158834492
x28=−2613.24940293582x_{28} = -2613.24940293582
x29=38.2547966939615x_{29} = 38.2547966939615
x30=−87.4089094496302x_{30} = -87.4089094496302
x31=−99.9752800639894x_{31} = -99.9752800639894
x32=8.86909310988541x_{32} = 8.86909310988541
x33=13.1220554652431x_{33} = 13.1220554652431
x34=−49.7097976065527x_{34} = -49.7097976065527
x35=−62.2761682209119x_{35} = -62.2761682209119
x36=69.6707232298594x_{36} = 69.6707232298594
x37=−43.4266122993731x_{37} = -43.4266122993731
x38=57.1043526155002x_{38} = 57.1043526155002
x39=25.6884260796023x_{39} = 25.6884260796023
x40=−60.24594526909x_{40} = -60.24594526909
x41=27.7186490314242x_{41} = 27.7186490314242
x42=−9.98046281165335x_{42} = -9.98046281165335
x43=−5.72750045629562x_{43} = -5.72750045629562
x44=−53.9627599619105x_{44} = -53.9627599619105
x45=65.4177608745017x_{45} = 65.4177608745017
x46=−81.1257241424507x_{46} = -81.1257241424507
x47=−22.5468334260125x_{47} = -22.5468334260125
x48=−9681.83287351286x_{48} = -9681.83287351286
x49=−74.8425388352711x_{49} = -74.8425388352711
x50=34.0018343386038x_{50} = 34.0018343386038
x51=31.9716113867819x_{51} = 31.9716113867819
x52=6.83887015806356x_{52} = 6.83887015806356
x53=59.1345755673221x_{53} = 59.1345755673221
x54=63.3875379226798x_{54} = 63.3875379226798
x55=−148.210539569604x_{55} = -148.210539569604
x56=−2016.34679875376x_{56} = -2016.34679875376
x57=−18.2938710706548x_{57} = -18.2938710706548
x58=−24.5770563778344x_{58} = -24.5770563778344
x59=94.8034644585778x_{59} = 94.8034644585778
x60=88.5202791513982x_{60} = 88.5202791513982
x61=46.5682049529629x_{61} = 46.5682049529629
x62=96.8336874103996x_{62} = 96.8336874103996
x63=−97.9450571121676x_{63} = -97.9450571121676
x64=15.152278417065x_{64} = 15.152278417065
x65=−28.8300187331921x_{65} = -28.8300187331921
x66=−35.1132040403717x_{66} = -35.1132040403717
x67=−68.5593535280915x_{67} = -68.5593535280915
x68=52.8513902601425x_{68} = 52.8513902601425
x69=40.2850196457833x_{69} = 40.2850196457833
x70=−93.6920947568098x_{70} = -93.6920947568098
x71=−85.3786864978084x_{71} = -85.3786864978084
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2*sin(x) - cos(x)^2 - 1/3.
(−cos⁡2(0)+2sin⁡(0))−13\left(- \cos^{2}{\left(0 \right)} + 2 \sin{\left(0 \right)}\right) - \frac{1}{3}
Resultado:
f(0)=−43f{\left(0 \right)} = - \frac{4}{3}
Punto:
(0, -4/3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2sin⁡(x)cos⁡(x)+2cos⁡(x)=02 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
 -pi        
(----, -7/3)
  2         

 pi      
(--, 5/3)
 2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,π2]\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right]
Crece en los intervalos
[π2,∞)\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−sin⁡2(x)−sin⁡(x)+cos⁡2(x))=02 \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π6x_{2} = \frac{\pi}{6}
x3=5π6x_{3} = \frac{5 \pi}{6}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,π6]∪[5π6,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{6}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[π6,5π6]\left[\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((2sin⁡(x)−cos⁡2(x))−13)=⟨−103,53⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\left(2 \sin{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) - \frac{1}{3}\right) = \left\langle - \frac{10}{3}, \frac{5}{3}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−103,53⟩y = \left\langle - \frac{10}{3}, \frac{5}{3}\right\rangle
lim⁡x→∞((2sin⁡(x)−cos⁡2(x))−13)=⟨−103,53⟩\lim_{x \to \infty}\left(\left(2 \sin{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) - \frac{1}{3}\right) = \left\langle - \frac{10}{3}, \frac{5}{3}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−103,53⟩y = \left\langle - \frac{10}{3}, \frac{5}{3}\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*sin(x) - cos(x)^2 - 1/3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((2sin⁡(x)−cos⁡2(x))−13x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(2 \sin{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) - \frac{1}{3}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((2sin⁡(x)−cos⁡2(x))−13x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 \sin{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) - \frac{1}{3}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(2sin⁡(x)−cos⁡2(x))−13=−2sin⁡(x)−cos⁡2(x)−13\left(2 \sin{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) - \frac{1}{3} = - 2 \sin{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)} - \frac{1}{3}
- No
(2sin⁡(x)−cos⁡2(x))−13=2sin⁡(x)+cos⁡2(x)+13\left(2 \sin{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) - \frac{1}{3} = 2 \sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} + \frac{1}{3}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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